Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30966 / 17191
↖ ↑ ↗
← N 64.682667°
W  9.898682°		 ← 261.22 m → N 64.682667°
W  9.893188°		 →
↑
261.21 m
↓
↑
261.21 m
↓
N 64.680318°
W  9.898682°		 ← 261.24 m →
68 236 m²		 N 64.680318°
W  9.893188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472511291503906 y=0.262321472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472511291503906 × 216)
    floor (0.472511291503906 × 65536)
    floor (30966.5)     		tx = 30966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262321472167969 × 216)
    floor (0.262321472167969 × 65536)
    floor (17191.5)     		ty = 17191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30966 / 17191 ti = "16/30966/17191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30966/17191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30966 ÷ 216
    30966 ÷ 65536     		x = 0.472503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17191 ÷ 216
    17191 ÷ 65536     		y = 0.262313842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.05499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17276459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262313842773438 × 2 - 1) × π
    0.475372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49342617076323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17276459} λ = -0.17276459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49342617076323))-π/2
    2×atan(4.45232383845933)-π/2
    2×1.34986091819154-π/2
    2.69972183638309-1.57079632675     		φ = 1.12892551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17276459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.898682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12892551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.682667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30966 KachelY 17191 -0.17276459 1.12892551 -9.898682 64.682667
    Oben rechts KachelX + 1 30967 KachelY 17191 -0.17266871 1.12892551 -9.893188 64.682667
    Unten links KachelX 30966 KachelY + 1 17192 -0.17276459 1.12888451 -9.898682 64.680318
    Unten rechts KachelX + 1 30967 KachelY + 1 17192 -0.17266871 1.12888451 -9.893188 64.680318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12892551-1.12888451) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dl = 261.210999999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12892551-1.12888451) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dr = 261.210999999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17276459--0.17266871) × cos(1.12892551) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.427631343301046 × 6371000     		do = 261.219238949812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17276459--0.17266871) × cos(1.12888451) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.427668405023864 × 6371000     		du = 261.241878158047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12892551)-sin(1.12888451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427631343301046-0.427668405023864)×R²
    abs(-0.17266871--0.17276459)×3.70617228185322e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70617228185322e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70617228185322e-05×40589641000000     		ar = 68236.2954400691m²