Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30965 / 6388
↖ ↑ ↗
← N 73.264704°
E160.191650°		 ← 351.77 m → N 73.264704°
E160.202637°		 →
↑
351.81 m
↓
↑
351.81 m
↓
N 73.261540°
E160.191650°		 ← 351.84 m →
123 767 m²		 N 73.261540°
E160.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944992065429688 y=0.194961547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944992065429688 × 215)
    floor (0.944992065429688 × 32768)
    floor (30965.5)     		tx = 30965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194961547851562 × 215)
    floor (0.194961547851562 × 32768)
    floor (6388.5)     		ty = 6388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30965 / 6388 ti = "15/30965/6388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30965/6388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30965 ÷ 215
    30965 ÷ 32768     		x = 0.944976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6388 ÷ 215
    6388 ÷ 32768     		y = 0.1949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944976806640625 × 2 - 1) × π
    0.88995361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79587173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1949462890625 × 2 - 1) × π
    0.610107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91670899440833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79587173} λ = 2.79587173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91670899440833))-π/2
    2×atan(6.79854755427823)-π/2
    2×1.42475331655499-π/2
    2.84950663310997-1.57079632675     		φ = 1.27871031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79587173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27871031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.264704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30965 KachelY 6388 2.79587173 1.27871031 160.191650 73.264704
    Oben rechts KachelX + 1 30966 KachelY 6388 2.79606348 1.27871031 160.202637 73.264704
    Unten links KachelX 30965 KachelY + 1 6389 2.79587173 1.27865509 160.191650 73.261540
    Unten rechts KachelX + 1 30966 KachelY + 1 6389 2.79606348 1.27865509 160.202637 73.261540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27871031-1.27865509) × R
    5.52199999999115e-05 × 6371000     		dl = 351.806619999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27871031-1.27865509) × R
    5.52199999999115e-05 × 6371000     		dr = 351.806619999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79587173-2.79606348) × cos(1.27871031) × R
    0.000191749999999935 × 0.287950514317585 × 6371000     		do = 351.77165034793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79587173-2.79606348) × cos(1.27865509) × R
    0.000191749999999935 × 0.288003395051451 × 6371000     		du = 351.836251527989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27871031)-sin(1.27865509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287950514317585-0.288003395051451)×R²
    abs(2.79606348-2.79587173)×5.28807338660564e-05×R²
    0.000191749999999935×5.28807338660564e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.28807338660564e-05×40589641000000     		ar = 123766.958913678m²