Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30965 / 17187
↖ ↑ ↗
← N 64.692062°
W  9.904175°		 ← 261.10 m → N 64.692062°
W  9.898682°		 →
↑
261.15 m
↓
↑
261.15 m
↓
N 64.689713°
W  9.904175°		 ← 261.12 m →
68 189 m²		 N 64.689713°
W  9.898682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472496032714844 y=0.262260437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472496032714844 × 216)
    floor (0.472496032714844 × 65536)
    floor (30965.5)     		tx = 30965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262260437011719 × 216)
    floor (0.262260437011719 × 65536)
    floor (17187.5)     		ty = 17187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30965 / 17187 ti = "16/30965/17187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30965/17187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30965 ÷ 216
    30965 ÷ 65536     		x = 0.472488403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17187 ÷ 216
    17187 ÷ 65536     		y = 0.262252807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472488403320312 × 2 - 1) × π
    -0.055023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17286046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262252807617188 × 2 - 1) × π
    0.475494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49380966596019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17286046} λ = -0.17286046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49380966596019))-π/2
    2×atan(4.45403161070698)-π/2
    2×1.34994290126334-π/2
    2.69988580252669-1.57079632675     		φ = 1.12908948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17286046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.904175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12908948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.692062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30965 KachelY 17187 -0.17286046 1.12908948 -9.904175 64.692062
    Oben rechts KachelX + 1 30966 KachelY 17187 -0.17276459 1.12908948 -9.898682 64.692062
    Unten links KachelX 30965 KachelY + 1 17188 -0.17286046 1.12904849 -9.904175 64.689713
    Unten rechts KachelX + 1 30966 KachelY + 1 17188 -0.17276459 1.12904849 -9.898682 64.689713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12908948-1.12904849) × R
    4.09900000000185e-05 × 6371000     		dl = 261.147290000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12908948-1.12904849) × R
    4.09900000000185e-05 × 6371000     		dr = 261.147290000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17286046--0.17276459) × cos(1.12908948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427483116342612 × 6371000     		do = 261.101459343549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17286046--0.17276459) × cos(1.12904849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427520171899866 × 6371000     		du = 261.12409242473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12908948)-sin(1.12904849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427483116342612-0.427520171899866)×R²
    abs(-0.17276459--0.17286046)×3.70555572540288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70555572540288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70555572540288e-05×40589641000000     		ar = 68188.8938161973m²