Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30964 / 6420
↖ ↑ ↗
← N 73.163173°
E160.180664°		 ← 353.83 m → N 73.163173°
E160.191650°		 →
↑
353.85 m
↓
↑
353.85 m
↓
N 73.159991°
E160.180664°		 ← 353.89 m →
125 211 m²		 N 73.159991°
E160.191650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944961547851562 y=0.195938110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944961547851562 × 215)
    floor (0.944961547851562 × 32768)
    floor (30964.5)     		tx = 30964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195938110351562 × 215)
    floor (0.195938110351562 × 32768)
    floor (6420.5)     		ty = 6420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30964 / 6420 ti = "15/30964/6420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30964/6420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30964 ÷ 215
    30964 ÷ 32768     		x = 0.9449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6420 ÷ 215
    6420 ÷ 32768     		y = 0.1959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9449462890625 × 2 - 1) × π
    0.889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79567999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1959228515625 × 2 - 1) × π
    0.608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91057307125696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79567999} λ = 2.79567999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91057307125696))-π/2
    2×atan(6.75695990872246)-π/2
    2×1.42386729529431-π/2
    2.84773459058862-1.57079632675     		φ = 1.27693826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79567999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27693826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.163173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30964 KachelY 6420 2.79567999 1.27693826 160.180664 73.163173
    Oben rechts KachelX + 1 30965 KachelY 6420 2.79587173 1.27693826 160.191650 73.163173
    Unten links KachelX 30964 KachelY + 1 6421 2.79567999 1.27688272 160.180664 73.159991
    Unten rechts KachelX + 1 30965 KachelY + 1 6421 2.79587173 1.27688272 160.191650 73.159991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27693826-1.27688272) × R
    5.55400000001871e-05 × 6371000     		dl = 353.845340001192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27693826-1.27688272) × R
    5.55400000001871e-05 × 6371000     		dr = 353.845340001192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79567999-2.79587173) × cos(1.27693826) × R
    0.000191739999999996 × 0.289647056660048 × 6371000     		do = 353.825759648901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79567999-2.79587173) × cos(1.27688272) × R
    0.000191739999999996 × 0.289700215409202 × 6371000     		du = 353.890697076605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27693826)-sin(1.27688272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289647056660048-0.289700215409202)×R²
    abs(2.79587173-2.79567999)×5.31587491541807e-05×R²
    0.000191739999999996×5.31587491541807e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.31587491541807e-05×40589641000000     		ar = 125211.085159516m²