Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30963 / 19663
↖ ↑ ↗
← N 58.219918°
W  9.915161°		 ← 321.71 m → N 58.219918°
W  9.909668°		 →
↑
321.67 m
↓
↑
321.67 m
↓
N 58.217025°
W  9.915161°		 ← 321.74 m →
103 490 m²		 N 58.217025°
W  9.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472465515136719 y=0.300041198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472465515136719 × 216)
    floor (0.472465515136719 × 65536)
    floor (30963.5)     		tx = 30963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300041198730469 × 216)
    floor (0.300041198730469 × 65536)
    floor (19663.5)     		ty = 19663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30963 / 19663 ti = "16/30963/19663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30963/19663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30963 ÷ 216
    30963 ÷ 65536     		x = 0.472457885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19663 ÷ 216
    19663 ÷ 65536     		y = 0.300033569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472457885742188 × 2 - 1) × π
    -0.055084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17305221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300033569335938 × 2 - 1) × π
    0.399932861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25642613904167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17305221} λ = -0.17305221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25642613904167))-π/2
    2×atan(3.51284460854463)-π/2
    2×1.29346279392234-π/2
    2.58692558784468-1.57079632675     		φ = 1.01612926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17305221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.915161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01612926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.219918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30963 KachelY 19663 -0.17305221 1.01612926 -9.915161 58.219918
    Oben rechts KachelX + 1 30964 KachelY 19663 -0.17295633 1.01612926 -9.909668 58.219918
    Unten links KachelX 30963 KachelY + 1 19664 -0.17305221 1.01607877 -9.915161 58.217025
    Unten rechts KachelX + 1 30964 KachelY + 1 19664 -0.17295633 1.01607877 -9.909668 58.217025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01612926-1.01607877) × R
    5.04900000000141e-05 × 6371000     		dl = 321.67179000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01612926-1.01607877) × R
    5.04900000000141e-05 × 6371000     		dr = 321.67179000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17305221--0.17295633) × cos(1.01612926) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.526660310926543 × 6371000     		do = 321.711230386807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17305221--0.17295633) × cos(1.01607877) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.526703230583894 × 6371000     		du = 321.737447923021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01612926)-sin(1.01607877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526660310926543-0.526703230583894)×R²
    abs(-0.17295633--0.17305221)×4.29196573510371e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.29196573510371e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.29196573510371e-05×40589641000000     		ar = 103489.644084741m²