Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30962 / 6482
↖ ↑ ↗
← N 72.964753°
E160.158691°		 ← 357.89 m → N 72.964753°
E160.169678°		 →
↑
357.92 m
↓
↑
357.92 m
↓
N 72.961534°
E160.158691°		 ← 357.96 m →
128 109 m²		 N 72.961534°
E160.169678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944900512695312 y=0.197830200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944900512695312 × 215)
    floor (0.944900512695312 × 32768)
    floor (30962.5)     		tx = 30962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197830200195312 × 215)
    floor (0.197830200195312 × 32768)
    floor (6482.5)     		ty = 6482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30962 / 6482 ti = "15/30962/6482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30962/6482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30962 ÷ 215
    30962 ÷ 32768     		x = 0.94488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6482 ÷ 215
    6482 ÷ 32768     		y = 0.19781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94488525390625 × 2 - 1) × π
    0.8897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79529649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19781494140625 × 2 - 1) × π
    0.6043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89868472015118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79529649} λ = 2.79529649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89868472015118))-π/2
    2×atan(6.67710640068195)-π/2
    2×1.42213575309331-π/2
    2.84427150618662-1.57079632675     		φ = 1.27347518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79529649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27347518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.964753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30962 KachelY 6482 2.79529649 1.27347518 160.158691 72.964753
    Oben rechts KachelX + 1 30963 KachelY 6482 2.79548824 1.27347518 160.169678 72.964753
    Unten links KachelX 30962 KachelY + 1 6483 2.79529649 1.27341900 160.158691 72.961534
    Unten rechts KachelX + 1 30963 KachelY + 1 6483 2.79548824 1.27341900 160.169678 72.961534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27347518-1.27341900) × R
    5.61799999998502e-05 × 6371000     		dl = 357.922779999046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27347518-1.27341900) × R
    5.61799999998502e-05 × 6371000     		dr = 357.922779999046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79529649-2.79548824) × cos(1.27347518) × R
    0.000191749999999935 × 0.29295994314294 × 6371000     		do = 357.891365221062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79529649-2.79548824) × cos(1.27341900) × R
    0.000191749999999935 × 0.293013657767113 × 6371000     		du = 357.956985114251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27347518)-sin(1.27341900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29295994314294-0.293013657767113)×R²
    abs(2.79548824-2.79529649)×5.37146241730291e-05×R²
    0.000191749999999935×5.37146241730291e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.37146241730291e-05×40589641000000     		ar = 128109.215838962m²