Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30962 / 19661
↖ ↑ ↗
← N 58.225704°
W  9.920654°		 ← 321.63 m → N 58.225704°
W  9.915161°		 →
↑
321.67 m
↓
↑
321.67 m
↓
N 58.222811°
W  9.920654°		 ← 321.65 m →
103 462 m²		 N 58.222811°
W  9.915161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472450256347656 y=0.300010681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472450256347656 × 216)
    floor (0.472450256347656 × 65536)
    floor (30962.5)     		tx = 30962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300010681152344 × 216)
    floor (0.300010681152344 × 65536)
    floor (19661.5)     		ty = 19661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30962 / 19661 ti = "16/30962/19661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30962/19661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30962 ÷ 216
    30962 ÷ 65536     		x = 0.472442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19661 ÷ 216
    19661 ÷ 65536     		y = 0.300003051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.05511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17314808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300003051757812 × 2 - 1) × π
    0.399993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25661788664015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17314808} λ = -0.17314808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25661788664015))-π/2
    2×atan(3.5135182526449)-π/2
    2×1.29351328273213-π/2
    2.58702656546427-1.57079632675     		φ = 1.01623024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17314808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.920654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01623024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.225704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30962 KachelY 19661 -0.17314808 1.01623024 -9.920654 58.225704
    Oben rechts KachelX + 1 30963 KachelY 19661 -0.17305221 1.01623024 -9.915161 58.225704
    Unten links KachelX 30962 KachelY + 1 19662 -0.17314808 1.01617975 -9.920654 58.222811
    Unten rechts KachelX + 1 30963 KachelY + 1 19662 -0.17305221 1.01617975 -9.915161 58.222811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01623024-1.01617975) × R
    5.04900000000141e-05 × 6371000     		dl = 321.67179000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01623024-1.01617975) × R
    5.04900000000141e-05 × 6371000     		dr = 321.67179000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17314808--0.17305221) × cos(1.01623024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5265744675842 × 6371000     		do = 321.625244794684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17314808--0.17305221) × cos(1.01617975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.526617389926608 × 6371000     		du = 321.651461236487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01623024)-sin(1.01617975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5265744675842-0.526617389926608)×R²
    abs(-0.17305221--0.17314808)×4.29223424087688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29223424087688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29223424087688e-05×40589641000000     		ar = 103461.984769332m²