Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30961 / 6383
↖ ↑ ↗
← N 73.280514°
E160.147705°		 ← 351.45 m → N 73.280514°
E160.158691°		 →
↑
351.49 m
↓
↑
351.49 m
↓
N 73.277353°
E160.147705°		 ← 351.51 m →
123 541 m²		 N 73.277353°
E160.158691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944869995117188 y=0.194808959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944869995117188 × 215)
    floor (0.944869995117188 × 32768)
    floor (30961.5)     		tx = 30961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194808959960938 × 215)
    floor (0.194808959960938 × 32768)
    floor (6383.5)     		ty = 6383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30961 / 6383 ti = "15/30961/6383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30961/6383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30961 ÷ 215
    30961 ÷ 32768     		x = 0.944854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6383 ÷ 215
    6383 ÷ 32768     		y = 0.194793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944854736328125 × 2 - 1) × π
    0.88970947265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79510474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194793701171875 × 2 - 1) × π
    0.61041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91766773240073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79510474} λ = 2.79510474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91766773240073))-π/2
    2×atan(6.80506870564994)-π/2
    2×1.42489128775643-π/2
    2.84978257551285-1.57079632675     		φ = 1.27898625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79510474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.147705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27898625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.280514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30961 KachelY 6383 2.79510474 1.27898625 160.147705 73.280514
    Oben rechts KachelX + 1 30962 KachelY 6383 2.79529649 1.27898625 160.158691 73.280514
    Unten links KachelX 30961 KachelY + 1 6384 2.79510474 1.27893108 160.147705 73.277353
    Unten rechts KachelX + 1 30962 KachelY + 1 6384 2.79529649 1.27893108 160.158691 73.277353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27898625-1.27893108) × R
    5.51699999999933e-05 × 6371000     		dl = 351.488069999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27898625-1.27893108) × R
    5.51699999999933e-05 × 6371000     		dr = 351.488069999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79510474-2.79529649) × cos(1.27898625) × R
    0.000191749999999935 × 0.287686250716947 × 6371000     		do = 351.448815561044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79510474-2.79529649) × cos(1.27893108) × R
    0.000191749999999935 × 0.287739087951381 × 6371000     		du = 351.513363600489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27898625)-sin(1.27893108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287686250716947-0.287739087951381)×R²
    abs(2.79529649-2.79510474)×5.28372344333339e-05×R²
    0.000191749999999935×5.28372344333339e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.28372344333339e-05×40589641000000     		ar = 123541.409849971m²