Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30960 / 19664
↖ ↑ ↗
← N 58.217025°
W  9.931641°		 ← 321.70 m → N 58.217025°
W  9.926148°		 →
↑
321.74 m
↓
↑
321.74 m
↓
N 58.214132°
W  9.931641°		 ← 321.73 m →
103 508 m²		 N 58.214132°
W  9.926148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472419738769531 y=0.300056457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472419738769531 × 216)
    floor (0.472419738769531 × 65536)
    floor (30960.5)     		tx = 30960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300056457519531 × 216)
    floor (0.300056457519531 × 65536)
    floor (19664.5)     		ty = 19664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30960 / 19664 ti = "16/30960/19664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30960/19664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30960 ÷ 216
    30960 ÷ 65536     		x = 0.472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19664 ÷ 216
    19664 ÷ 65536     		y = 0.300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300048828125 × 2 - 1) × π
    0.39990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25633026524243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17333983} λ = -0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25633026524243))-π/2
    2×atan(3.51250783493001)-π/2
    2×1.29343754643111-π/2
    2.58687509286222-1.57079632675     		φ = 1.01607877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01607877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.217025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30960 KachelY 19664 -0.17333983 1.01607877 -9.931641 58.217025
    Oben rechts KachelX + 1 30961 KachelY 19664 -0.17324396 1.01607877 -9.926148 58.217025
    Unten links KachelX 30960 KachelY + 1 19665 -0.17333983 1.01602827 -9.931641 58.214132
    Unten rechts KachelX + 1 30961 KachelY + 1 19665 -0.17324396 1.01602827 -9.926148 58.214132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01607877-1.01602827) × R
    5.04999999999534e-05 × 6371000     		dl = 321.735499999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01607877-1.01602827) × R
    5.04999999999534e-05 × 6371000     		dr = 321.735499999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17333983--0.17324396) × cos(1.01607877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.526703230583894 × 6371000     		do = 321.703891660125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17333983--0.17324396) × cos(1.01602827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.526746157398778 × 6371000     		du = 321.730110833662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01607877)-sin(1.01602827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526703230583894-0.526746157398778)×R²
    abs(-0.17324396--0.17333983)×4.29268148842699e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29268148842699e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29268148842699e-05×40589641000000     		ar = 103507.780276613m²