Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30960 / 17614
↖ ↑ ↗
← N 63.670633°
W  9.931641°		 ← 270.90 m → N 63.670633°
W  9.926148°		 →
↑
270.89 m
↓
↑
270.89 m
↓
N 63.668197°
W  9.931641°		 ← 270.93 m →
73 389 m²		 N 63.668197°
W  9.926148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472419738769531 y=0.268775939941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472419738769531 × 216)
    floor (0.472419738769531 × 65536)
    floor (30960.5)     		tx = 30960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268775939941406 × 216)
    floor (0.268775939941406 × 65536)
    floor (17614.5)     		ty = 17614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30960 / 17614 ti = "16/30960/17614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30960/17614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30960 ÷ 216
    30960 ÷ 65536     		x = 0.472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17614 ÷ 216
    17614 ÷ 65536     		y = 0.268768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268768310546875 × 2 - 1) × π
    0.46246337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45287155368466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17333983} λ = -0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45287155368466))-π/2
    2×atan(4.27537387063763)-π/2
    2×1.34102925934786-π/2
    2.68205851869571-1.57079632675     		φ = 1.11126219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11126219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.670633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30960 KachelY 17614 -0.17333983 1.11126219 -9.931641 63.670633
    Oben rechts KachelX + 1 30961 KachelY 17614 -0.17324396 1.11126219 -9.926148 63.670633
    Unten links KachelX 30960 KachelY + 1 17615 -0.17333983 1.11121967 -9.931641 63.668197
    Unten rechts KachelX + 1 30961 KachelY + 1 17615 -0.17324396 1.11121967 -9.926148 63.668197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11126219-1.11121967) × R
    4.25199999998238e-05 × 6371000     		dl = 270.894919998877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11126219-1.11121967) × R
    4.25199999998238e-05 × 6371000     		dr = 270.894919998877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17333983--0.17324396) × cos(1.11126219) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44353062091748 × 6371000     		do = 270.903078876897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17333983--0.17324396) × cos(1.11121967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443568729458536 × 6371000     		du = 270.926355107706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11126219)-sin(1.11121967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44353062091748-0.443568729458536)×R²
    abs(-0.17324396--0.17333983)×3.81085410553483e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81085410553483e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81085410553483e-05×40589641000000     		ar = 73389.4205971136m²