Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30958 / 17613
↖ ↑ ↗
← N 63.673070°
W  9.942627°		 ← 270.91 m → N 63.673070°
W  9.937134°		 →
↑
270.89 m
↓
↑
270.89 m
↓
N 63.670633°
W  9.942627°		 ← 270.93 m →
73 391 m²		 N 63.670633°
W  9.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472389221191406 y=0.268760681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472389221191406 × 216)
    floor (0.472389221191406 × 65536)
    floor (30958.5)     		tx = 30958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268760681152344 × 216)
    floor (0.268760681152344 × 65536)
    floor (17613.5)     		ty = 17613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30958 / 17613 ti = "16/30958/17613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30958/17613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30958 ÷ 216
    30958 ÷ 65536     		x = 0.472381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17613 ÷ 216
    17613 ÷ 65536     		y = 0.268753051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.05523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17353158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268753051757812 × 2 - 1) × π
    0.462493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4529674274839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17353158} λ = -0.17353158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4529674274839))-π/2
    2×atan(4.27578378662357)-π/2
    2×1.34105051991717-π/2
    2.68210103983434-1.57079632675     		φ = 1.11130471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17353158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11130471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.673070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30958 KachelY 17613 -0.17353158 1.11130471 -9.942627 63.673070
    Oben rechts KachelX + 1 30959 KachelY 17613 -0.17343570 1.11130471 -9.937134 63.673070
    Unten links KachelX 30958 KachelY + 1 17614 -0.17353158 1.11126219 -9.942627 63.670633
    Unten rechts KachelX + 1 30959 KachelY + 1 17614 -0.17343570 1.11126219 -9.937134 63.670633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11130471-1.11126219) × R
    4.25200000000459e-05 × 6371000     		dl = 270.894920000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11130471-1.11126219) × R
    4.25200000000459e-05 × 6371000     		dr = 270.894920000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17353158--0.17343570) × cos(1.11130471) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.443492511574543 × 6371000     		do = 270.908057064206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17353158--0.17343570) × cos(1.11126219) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44353062091748 × 6371000     		du = 270.931336212741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11130471)-sin(1.11126219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443492511574543-0.44353062091748)×R²
    abs(-0.17343570--0.17353158)×3.81093429369095e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81093429369095e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81093429369095e-05×40589641000000     		ar = 73390.7695581991m²