Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30953 / 38053
↖ ↑ ↗
← S 27.863360°
W  9.970093°		 ← 540.03 m → S 27.863360°
W  9.964600°		 →
↑
540.01 m
↓
↑
540.01 m
↓
S 27.868217°
W  9.970093°		 ← 540.01 m →
291 614 m²		 S 27.868217°
W  9.964600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472312927246094 y=0.580650329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472312927246094 × 216)
    floor (0.472312927246094 × 65536)
    floor (30953.5)     		tx = 30953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580650329589844 × 216)
    floor (0.580650329589844 × 65536)
    floor (38053.5)     		ty = 38053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30953 / 38053 ti = "16/30953/38053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30953/38053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30953 ÷ 216
    30953 ÷ 65536     		x = 0.472305297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38053 ÷ 216
    38053 ÷ 65536     		y = 0.580642700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472305297851562 × 2 - 1) × π
    -0.055389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17401095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580642700195312 × 2 - 1) × π
    -0.161285400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.506693028983993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17401095} λ = -0.17401095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506693028983993))-π/2
    2×atan(0.602484687436171)-π/2
    2×0.542244473788575-π/2
    1.08448894757715-1.57079632675     		φ = -0.48630738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17401095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.970093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48630738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.863360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30953 KachelY 38053 -0.17401095 -0.48630738 -9.970093 -27.863360
    Oben rechts KachelX + 1 30954 KachelY 38053 -0.17391507 -0.48630738 -9.964600 -27.863360
    Unten links KachelX 30953 KachelY + 1 38054 -0.17401095 -0.48639214 -9.970093 -27.868217
    Unten rechts KachelX + 1 30954 KachelY + 1 38054 -0.17391507 -0.48639214 -9.964600 -27.868217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48630738--0.48639214) × R
    8.47599999999615e-05 × 6371000     		dl = 540.005959999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48630738--0.48639214) × R
    8.47599999999615e-05 × 6371000     		dr = 540.005959999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17401095--0.17391507) × cos(-0.48630738) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884064681735299 × 6371000     		do = 540.032219253695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17401095--0.17391507) × cos(-0.48639214) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884025064738971 × 6371000     		du = 540.008019152855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48630738)-sin(-0.48639214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884064681735299-0.884025064738971)×R²
    abs(-0.17391507--0.17401095)×3.96169963275961e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.96169963275961e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.96169963275961e-05×40589641000000     		ar = 291614.08306397m²