Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30953 / 38024
↖ ↑ ↗
← S 27.722436°
W  9.970093°		 ← 540.73 m → S 27.722436°
W  9.964600°		 →
↑
540.71 m
↓
↑
540.71 m
↓
S 27.727298°
W  9.970093°		 ← 540.71 m →
292 371 m²		 S 27.727298°
W  9.964600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472312927246094 y=0.580207824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472312927246094 × 216)
    floor (0.472312927246094 × 65536)
    floor (30953.5)     		tx = 30953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580207824707031 × 216)
    floor (0.580207824707031 × 65536)
    floor (38024.5)     		ty = 38024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30953 / 38024 ti = "16/30953/38024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30953/38024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30953 ÷ 216
    30953 ÷ 65536     		x = 0.472305297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38024 ÷ 216
    38024 ÷ 65536     		y = 0.5802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472305297851562 × 2 - 1) × π
    -0.055389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17401095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.160400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.50391268880603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17401095} λ = -0.17401095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50391268880603))-π/2
    2×atan(0.604162130670074)-π/2
    2×0.54347427167421-π/2
    1.08694854334842-1.57079632675     		φ = -0.48384778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17401095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.970093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48384778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.722436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30953 KachelY 38024 -0.17401095 -0.48384778 -9.970093 -27.722436
    Oben rechts KachelX + 1 30954 KachelY 38024 -0.17391507 -0.48384778 -9.964600 -27.722436
    Unten links KachelX 30953 KachelY + 1 38025 -0.17401095 -0.48393265 -9.970093 -27.727298
    Unten rechts KachelX + 1 30954 KachelY + 1 38025 -0.17391507 -0.48393265 -9.964600 -27.727298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48384778--0.48393265) × R
    8.48700000000147e-05 × 6371000     		dl = 540.706770000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48384778--0.48393265) × R
    8.48700000000147e-05 × 6371000     		dr = 540.706770000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17401095--0.17391507) × cos(-0.48384778) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.885211536333592 × 6371000     		do = 540.732777082407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17401095--0.17391507) × cos(-0.48393265) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.885172052579766 × 6371000     		du = 540.708658372947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48384778)-sin(-0.48393265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885211536333592-0.885172052579766)×R²
    abs(-0.17391507--0.17401095)×3.94837538256754e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.94837538256754e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.94837538256754e-05×40589641000000     		ar = 292371.352930235m²