Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30952 / 6232
↖ ↑ ↗
← N 73.751205°
E160.048828°		 ← 341.83 m → N 73.751205°
E160.059814°		 →
↑
341.87 m
↓
↑
341.87 m
↓
N 73.748131°
E160.048828°		 ← 341.89 m →
116 870 m²		 N 73.748131°
E160.059814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944595336914062 y=0.190200805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944595336914062 × 215)
    floor (0.944595336914062 × 32768)
    floor (30952.5)     		tx = 30952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190200805664062 × 215)
    floor (0.190200805664062 × 32768)
    floor (6232.5)     		ty = 6232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30952 / 6232 ti = "15/30952/6232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30952/6232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30952 ÷ 215
    30952 ÷ 32768     		x = 0.944580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6232 ÷ 215
    6232 ÷ 32768     		y = 0.190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944580078125 × 2 - 1) × π
    0.88916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79337901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190185546875 × 2 - 1) × π
    0.61962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94662161977124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79337901} λ = 2.79337901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94662161977124))-π/2
    2×atan(7.00498206709876)-π/2
    2×1.42899884408204-π/2
    2.85799768816408-1.57079632675     		φ = 1.28720136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79337901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28720136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.751205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30952 KachelY 6232 2.79337901 1.28720136 160.048828 73.751205
    Oben rechts KachelX + 1 30953 KachelY 6232 2.79357076 1.28720136 160.059814 73.751205
    Unten links KachelX 30952 KachelY + 1 6233 2.79337901 1.28714770 160.048828 73.748131
    Unten rechts KachelX + 1 30953 KachelY + 1 6233 2.79357076 1.28714770 160.059814 73.748131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28720136-1.28714770) × R
    5.36600000000664e-05 × 6371000     		dl = 341.867860000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28720136-1.28714770) × R
    5.36600000000664e-05 × 6371000     		dr = 341.867860000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79337901-2.79357076) × cos(1.28720136) × R
    0.000191749999999935 × 0.279808817732291 × 6371000     		do = 341.825434237747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79337901-2.79357076) × cos(1.28714770) × R
    0.000191749999999935 × 0.27986033392048 × 6371000     		du = 341.888368435249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28720136)-sin(1.28714770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279808817732291-0.27986033392048)×R²
    abs(2.79357076-2.79337901)×5.15161881886605e-05×R²
    0.000191749999999935×5.15161881886605e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.15161881886605e-05×40589641000000     		ar = 116869.887314757m²