Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30952 / 38025
↖ ↑ ↗
← S 27.727298°
W  9.975586°		 ← 540.65 m → S 27.727298°
W  9.970093°		 →
↑
540.64 m
↓
↑
540.64 m
↓
S 27.732161°
W  9.975586°		 ← 540.63 m →
292 293 m²		 S 27.732161°
W  9.970093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472297668457031 y=0.580223083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472297668457031 × 216)
    floor (0.472297668457031 × 65536)
    floor (30952.5)     		tx = 30952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580223083496094 × 216)
    floor (0.580223083496094 × 65536)
    floor (38025.5)     		ty = 38025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30952 / 38025 ti = "16/30952/38025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30952/38025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30952 ÷ 216
    30952 ÷ 65536     		x = 0.4722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38025 ÷ 216
    38025 ÷ 65536     		y = 0.580215454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17410682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580215454101562 × 2 - 1) × π
    -0.160430908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.50400856260527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17410682} λ = -0.17410682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50400856260527))-π/2
    2×atan(0.604104210127825)-π/2
    2×0.543431838324036-π/2
    1.08686367664807-1.57079632675     		φ = -0.48393265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17410682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48393265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.727298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30952 KachelY 38025 -0.17410682 -0.48393265 -9.975586 -27.727298
    Oben rechts KachelX + 1 30953 KachelY 38025 -0.17401095 -0.48393265 -9.970093 -27.727298
    Unten links KachelX 30952 KachelY + 1 38026 -0.17410682 -0.48401751 -9.975586 -27.732161
    Unten rechts KachelX + 1 30953 KachelY + 1 38026 -0.17401095 -0.48401751 -9.970093 -27.732161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48393265--0.48401751) × R
    8.48599999999644e-05 × 6371000     		dl = 540.643059999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48393265--0.48401751) × R
    8.48599999999644e-05 × 6371000     		dr = 540.643059999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17410682--0.17401095) × cos(-0.48393265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885172052579766 × 6371000     		do = 540.652264061506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17410682--0.17401095) × cos(-0.48401751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88513256710351 × 6371000     		du = 540.628146815516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48393265)-sin(-0.48401751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885172052579766-0.88513256710351)×R²
    abs(-0.17401095--0.17410682)×3.9485476256762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9485476256762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9485476256762e-05×40589641000000     		ar = 292293.375202429m²