Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30952 / 14088
↖ ↑ ↗
← N 71.059798°
W  9.975586°		 ← 198.25 m → N 71.059798°
W  9.970093°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
N 71.058015°
W  9.975586°		 ← 198.27 m →
39 308 m²		 N 71.058015°
W  9.970093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472297668457031 y=0.214973449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472297668457031 × 216)
    floor (0.472297668457031 × 65536)
    floor (30952.5)     		tx = 30952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214973449707031 × 216)
    floor (0.214973449707031 × 65536)
    floor (14088.5)     		ty = 14088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30952 / 14088 ti = "16/30952/14088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30952/14088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30952 ÷ 216
    30952 ÷ 65536     		x = 0.4722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14088 ÷ 216
    14088 ÷ 65536     		y = 0.2149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17410682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2149658203125 × 2 - 1) × π
    0.570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7909225698053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17410682} λ = -0.17410682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7909225698053))-π/2
    2×atan(5.99498070407935)-π/2
    2×1.4055118822283-π/2
    2.8110237644566-1.57079632675     		φ = 1.24022744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17410682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.975586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24022744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.059798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30952 KachelY 14088 -0.17410682 1.24022744 -9.975586 71.059798
    Oben rechts KachelX + 1 30953 KachelY 14088 -0.17401095 1.24022744 -9.970093 71.059798
    Unten links KachelX 30952 KachelY + 1 14089 -0.17410682 1.24019632 -9.975586 71.058015
    Unten rechts KachelX + 1 30953 KachelY + 1 14089 -0.17401095 1.24019632 -9.970093 71.058015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24022744-1.24019632) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dl = 198.265520000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24022744-1.24019632) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dr = 198.265520000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17410682--0.17401095) × cos(1.24022744) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32458116692711 × 6371000     		do = 198.250207131403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17410682--0.17401095) × cos(1.24019632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324610601866122 × 6371000     		du = 198.268185632162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24022744)-sin(1.24019632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32458116692711-0.324610601866122)×R²
    abs(-0.17401095--0.17410682)×2.94349390121407e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94349390121407e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94349390121407e-05×40589641000000     		ar = 39307.9626684972m²