Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30951 / 6247
↖ ↑ ↗
← N 73.705031°
E160.037842°		 ← 342.75 m → N 73.705031°
E160.048828°		 →
↑
342.82 m
↓
↑
342.82 m
↓
N 73.701948°
E160.037842°		 ← 342.82 m →
117 514 m²		 N 73.701948°
E160.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944564819335938 y=0.190658569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944564819335938 × 215)
    floor (0.944564819335938 × 32768)
    floor (30951.5)     		tx = 30951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190658569335938 × 215)
    floor (0.190658569335938 × 32768)
    floor (6247.5)     		ty = 6247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30951 / 6247 ti = "15/30951/6247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30951/6247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30951 ÷ 215
    30951 ÷ 32768     		x = 0.944549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6247 ÷ 215
    6247 ÷ 32768     		y = 0.190643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944549560546875 × 2 - 1) × π
    0.88909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79318727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190643310546875 × 2 - 1) × π
    0.61871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94374540579404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79318727} λ = 2.79318727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94374540579404))-π/2
    2×atan(6.98486318673938)-π/2
    2×1.42859589302768-π/2
    2.85719178605537-1.57079632675     		φ = 1.28639546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79318727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.037842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28639546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.705031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30951 KachelY 6247 2.79318727 1.28639546 160.037842 73.705031
    Oben rechts KachelX + 1 30952 KachelY 6247 2.79337901 1.28639546 160.048828 73.705031
    Unten links KachelX 30951 KachelY + 1 6248 2.79318727 1.28634165 160.037842 73.701948
    Unten rechts KachelX + 1 30952 KachelY + 1 6248 2.79337901 1.28634165 160.048828 73.701948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28639546-1.28634165) × R
    5.3810000000043e-05 × 6371000     		dl = 342.823510000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28639546-1.28634165) × R
    5.3810000000043e-05 × 6371000     		dr = 342.823510000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79318727-2.79337901) × cos(1.28639546) × R
    0.000191739999999996 × 0.280582435705699 × 6371000     		do = 342.752640411697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79318727-2.79337901) × cos(1.28634165) × R
    0.000191739999999996 × 0.280634083748055 × 6371000     		du = 342.815732396928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28639546)-sin(1.28634165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280582435705699-0.280634083748055)×R²
    abs(2.79337901-2.79318727)×5.16480423559673e-05×R²
    0.000191739999999996×5.16480423559673e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.16480423559673e-05×40589641000000     		ar = 117514.477983831m²