Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30950 / 38052
↖ ↑ ↗
← S 27.858504°
W  9.986572°		 ← 540.06 m → S 27.858504°
W  9.981079°		 →
↑
540.01 m
↓
↑
540.01 m
↓
S 27.863360°
W  9.986572°		 ← 540.03 m →
291 627 m²		 S 27.863360°
W  9.981079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472267150878906 y=0.580635070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472267150878906 × 216)
    floor (0.472267150878906 × 65536)
    floor (30950.5)     		tx = 30950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580635070800781 × 216)
    floor (0.580635070800781 × 65536)
    floor (38052.5)     		ty = 38052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30950 / 38052 ti = "16/30950/38052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30950/38052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30950 ÷ 216
    30950 ÷ 65536     		x = 0.472259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38052 ÷ 216
    38052 ÷ 65536     		y = 0.58062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.05548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17429857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.1612548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506597155184753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17429857} λ = -0.17429857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506597155184753))-π/2
    2×atan(0.602542452701183)-π/2
    2×0.542286854057928-π/2
    1.08457370811586-1.57079632675     		φ = -0.48622262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17429857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48622262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.858504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30950 KachelY 38052 -0.17429857 -0.48622262 -9.986572 -27.858504
    Oben rechts KachelX + 1 30951 KachelY 38052 -0.17420269 -0.48622262 -9.981079 -27.858504
    Unten links KachelX 30950 KachelY + 1 38053 -0.17429857 -0.48630738 -9.986572 -27.863360
    Unten rechts KachelX + 1 30951 KachelY + 1 38053 -0.17420269 -0.48630738 -9.981079 -27.863360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48622262--0.48630738) × R
    8.4760000000017e-05 × 6371000     		dl = 540.005960000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48622262--0.48630738) × R
    8.4760000000017e-05 × 6371000     		dr = 540.005960000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17429857--0.17420269) × cos(-0.48622262) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.884104292380278 × 6371000     		do = 540.05641547496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17429857--0.17420269) × cos(-0.48630738) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.884064681735299 × 6371000     		du = 540.032219253851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48622262)-sin(-0.48630738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884104292380278-0.884064681735299)×R²
    abs(-0.17420269--0.17429857)×3.96106449791489e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.96106449791489e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.96106449791489e-05×40589641000000     		ar = 291627.150215568m²