Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3095 / 3143
↖ ↑ ↗
← S 68.879358°
E 92.021484°		 ← 3 521.55 m → S 68.879358°
E 92.109375°		 →
↑
3 519.02 m
↓
↑
3 519.02 m
↓
S 68.911005°
E 92.021484°		 ← 3 516.52 m →
12 383 556 m²		 S 68.911005°
E 92.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7557373046875 y=0.7674560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7557373046875 × 212)
    floor (0.7557373046875 × 4096)
    floor (3095.5)     		tx = 3095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7674560546875 × 212)
    floor (0.7674560546875 × 4096)
    floor (3143.5)     		ty = 3143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3095 / 3143 ti = "12/3095/3143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3095/3143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3095 ÷ 212
    3095 ÷ 4096     		x = 0.755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3143 ÷ 212
    3143 ÷ 4096     		y = 0.767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60607788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.53466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67970896268677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60607788} λ = 1.60607788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67970896268677))-π/2
    2×atan(0.18642822571461)-π/2
    2×0.184312374922827-π/2
    0.368624749845654-1.57079632675     		φ = -1.20217158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60607788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20217158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.879358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3095 KachelY 3143 1.60607788 -1.20217158 92.021484 -68.879358
    Oben rechts KachelX + 1 3096 KachelY 3143 1.60761187 -1.20217158 92.109375 -68.879358
    Unten links KachelX 3095 KachelY + 1 3144 1.60607788 -1.20272393 92.021484 -68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 3096 KachelY + 1 3144 1.60761187 -1.20272393 92.109375 -68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20217158--1.20272393) × R
    0.000552350000000201 × 6371000     		dl = 3519.02185000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20217158--1.20272393) × R
    0.000552350000000201 × 6371000     		dr = 3519.02185000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60607788-1.60761187) × cos(-1.20217158) × R
    0.00153398999999999 × 0.360332904233438 × 6371000     		do = 3521.55159421511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60607788-1.60761187) × cos(-1.20272393) × R
    0.00153398999999999 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 3516.51553989697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20217158)-sin(-1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360332904233438-0.359817604079576)×R²
    abs(1.60761187-1.60607788)×0.000515300153862586×R²
    0.00153398999999999×0.000515300153862586×6371000²
    0.00153398999999999×0.000515300153862586×40589641000000     		ar = 12383556.3281988m²