Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30949 / 38418
↖ ↑ ↗
← S 29.621221°
W  9.992065°		 ← 530.97 m → S 29.621221°
W  9.986572°		 →
↑
530.96 m
↓
↑
530.96 m
↓
S 29.625996°
W  9.992065°		 ← 530.94 m →
281 914 m²		 S 29.625996°
W  9.986572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472251892089844 y=0.586219787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472251892089844 × 216)
    floor (0.472251892089844 × 65536)
    floor (30949.5)     		tx = 30949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586219787597656 × 216)
    floor (0.586219787597656 × 65536)
    floor (38418.5)     		ty = 38418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30949 / 38418 ti = "16/30949/38418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30949/38418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30949 ÷ 216
    30949 ÷ 65536     		x = 0.472244262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38418 ÷ 216
    38418 ÷ 65536     		y = 0.586212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472244262695312 × 2 - 1) × π
    -0.055511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17439444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.17242431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.541686965706635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17439444} λ = -0.17439444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541686965706635))-π/2
    2×atan(0.581766004798565)-π/2
    2×0.526904244955777-π/2
    1.05380848991155-1.57079632675     		φ = -0.51698784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17439444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.992065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51698784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.621221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30949 KachelY 38418 -0.17439444 -0.51698784 -9.992065 -29.621221
    Oben rechts KachelX + 1 30950 KachelY 38418 -0.17429857 -0.51698784 -9.986572 -29.621221
    Unten links KachelX 30949 KachelY + 1 38419 -0.17439444 -0.51707118 -9.992065 -29.625996
    Unten rechts KachelX + 1 30950 KachelY + 1 38419 -0.17429857 -0.51707118 -9.986572 -29.625996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51698784--0.51707118) × R
    8.33399999999873e-05 × 6371000     		dl = 530.959139999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51698784--0.51707118) × R
    8.33399999999873e-05 × 6371000     		dr = 530.959139999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17439444--0.17429857) × cos(-0.51698784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869311922984862 × 6371000     		do = 530.965090874324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17439444--0.17429857) × cos(-0.51707118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869270728014436 × 6371000     		du = 530.939929490202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51698784)-sin(-0.51707118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869311922984862-0.869270728014436)×R²
    abs(-0.17429857--0.17439444)×4.11949704265391e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11949704265391e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11949704265391e-05×40589641000000     		ar = 281914.08835032m²