Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30948 / 20220
↖ ↑ ↗
← N 56.571589°
W  9.997558°		 ← 336.48 m → N 56.571589°
W  9.992065°		 →
↑
336.52 m
↓
↑
336.52 m
↓
N 56.568563°
W  9.997558°		 ← 336.51 m →
113 235 m²		 N 56.568563°
W  9.992065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472236633300781 y=0.308540344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472236633300781 × 216)
    floor (0.472236633300781 × 65536)
    floor (30948.5)     		tx = 30948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308540344238281 × 216)
    floor (0.308540344238281 × 65536)
    floor (20220.5)     		ty = 20220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30948 / 20220 ti = "16/30948/20220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30948/20220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30948 ÷ 216
    30948 ÷ 65536     		x = 0.47222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20220 ÷ 216
    20220 ÷ 65536     		y = 0.30853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17449031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30853271484375 × 2 - 1) × π
    0.3829345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20302443286493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17449031} λ = -0.17449031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20302443286493))-π/2
    2×atan(3.33017359367026)-π/2
    2×1.27907840930103-π/2
    2.55815681860206-1.57079632675     		φ = 0.98736049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17449031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.997558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98736049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.571589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30948 KachelY 20220 -0.17449031 0.98736049 -9.997558 56.571589
    Oben rechts KachelX + 1 30949 KachelY 20220 -0.17439444 0.98736049 -9.992065 56.571589
    Unten links KachelX 30948 KachelY + 1 20221 -0.17449031 0.98730767 -9.997558 56.568563
    Unten rechts KachelX + 1 30949 KachelY + 1 20221 -0.17439444 0.98730767 -9.992065 56.568563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98736049-0.98730767) × R
    5.28200000000645e-05 × 6371000     		dl = 336.516220000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98736049-0.98730767) × R
    5.28200000000645e-05 × 6371000     		dr = 336.516220000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17449031--0.17439444) × cos(0.98736049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550894645586417 × 6371000     		do = 336.479712082661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17449031--0.17439444) × cos(0.98730767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550938727058616 × 6371000     		du = 336.506636506763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98736049)-sin(0.98730767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550894645586417-0.550938727058616)×R²
    abs(-0.17439444--0.17449031)×4.40814721986982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40814721986982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40814721986982e-05×40589641000000     		ar = 113235.411095868m²