Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30947 / 38305
↖ ↑ ↗
← S 29.080176°
W 10.003052°		 ← 533.85 m → S 29.080176°
W  9.997558°		 →
↑
533.76 m
↓
↑
533.76 m
↓
S 29.084976°
W 10.003052°		 ← 533.82 m →
284 941 m²		 S 29.084976°
W  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472221374511719 y=0.584495544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472221374511719 × 216)
    floor (0.472221374511719 × 65536)
    floor (30947.5)     		tx = 30947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584495544433594 × 216)
    floor (0.584495544433594 × 65536)
    floor (38305.5)     		ty = 38305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30947 / 38305 ti = "16/30947/38305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30947/38305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30947 ÷ 216
    30947 ÷ 65536     		x = 0.472213745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38305 ÷ 216
    38305 ÷ 65536     		y = 0.584487915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472213745117188 × 2 - 1) × π
    -0.055572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17458619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584487915039062 × 2 - 1) × π
    -0.168975830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530853226392502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17458619} λ = -0.17458619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530853226392502))-π/2
    2×atan(0.588102970573365)-π/2
    2×0.531625754364916-π/2
    1.06325150872983-1.57079632675     		φ = -0.50754482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17458619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.003052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50754482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.080176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30947 KachelY 38305 -0.17458619 -0.50754482 -10.003052 -29.080176
    Oben rechts KachelX + 1 30948 KachelY 38305 -0.17449031 -0.50754482 -9.997558 -29.080176
    Unten links KachelX 30947 KachelY + 1 38306 -0.17458619 -0.50762860 -10.003052 -29.084976
    Unten rechts KachelX + 1 30948 KachelY + 1 38306 -0.17449031 -0.50762860 -9.997558 -29.084976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50754482--0.50762860) × R
    8.37799999999778e-05 × 6371000     		dl = 533.762379999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50754482--0.50762860) × R
    8.37799999999778e-05 × 6371000     		dr = 533.762379999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17458619--0.17449031) × cos(-0.50754482) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873940439043774 × 6371000     		do = 533.847810621698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17458619--0.17449031) × cos(-0.50762860) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.873899716129198 × 6371000     		du = 533.82293496906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50754482)-sin(-0.50762860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873940439043774-0.873899716129198)×R²
    abs(-0.17449031--0.17458619)×4.0722914575686e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.0722914575686e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.0722914575686e-05×40589641000000     		ar = 284941.239277952m²