Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30947 / 14117
↖ ↑ ↗
← N 71.008023°
W 10.003052°		 ← 198.79 m → N 71.008023°
W  9.997558°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
N 71.006236°
W 10.003052°		 ← 198.81 m →
39 517 m²		 N 71.006236°
W  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472221374511719 y=0.215415954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472221374511719 × 216)
    floor (0.472221374511719 × 65536)
    floor (30947.5)     		tx = 30947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215415954589844 × 216)
    floor (0.215415954589844 × 65536)
    floor (14117.5)     		ty = 14117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30947 / 14117 ti = "16/30947/14117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30947/14117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30947 ÷ 216
    30947 ÷ 65536     		x = 0.472213745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14117 ÷ 216
    14117 ÷ 65536     		y = 0.215408325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472213745117188 × 2 - 1) × π
    -0.055572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17458619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215408325195312 × 2 - 1) × π
    0.569183349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78814222962733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17458619} λ = -0.17458619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78814222962733))-π/2
    2×atan(5.97833576837594)-π/2
    2×1.40506006542187-π/2
    2.81012013084375-1.57079632675     		φ = 1.23932380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17458619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.003052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23932380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.008023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30947 KachelY 14117 -0.17458619 1.23932380 -10.003052 71.008023
    Oben rechts KachelX + 1 30948 KachelY 14117 -0.17449031 1.23932380 -9.997558 71.008023
    Unten links KachelX 30947 KachelY + 1 14118 -0.17458619 1.23929260 -10.003052 71.006236
    Unten rechts KachelX + 1 30948 KachelY + 1 14118 -0.17449031 1.23929260 -9.997558 71.006236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23932380-1.23929260) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.775200000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23932380-1.23929260) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.775200000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17458619--0.17449031) × cos(1.23932380) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325435749274497 × 6371000     		do = 198.79290908922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17458619--0.17449031) × cos(1.23929260) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.325465250717763 × 6371000     		du = 198.810930089501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23932380)-sin(1.23929260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325435749274497-0.325465250717763)×R²
    abs(-0.17449031--0.17458619)×2.95014432660223e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.95014432660223e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.95014432660223e-05×40589641000000     		ar = 39516.8913298566m²