Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30945 / 38754
↖ ↑ ↗
← S 31.212801°
W 10.014038°		 ← 522.43 m → S 31.212801°
W 10.008545°		 →
↑
522.42 m
↓
↑
522.42 m
↓
S 31.217499°
W 10.014038°		 ← 522.40 m →
272 922 m²		 S 31.217499°
W 10.008545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472190856933594 y=0.591346740722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472190856933594 × 216)
    floor (0.472190856933594 × 65536)
    floor (30945.5)     		tx = 30945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591346740722656 × 216)
    floor (0.591346740722656 × 65536)
    floor (38754.5)     		ty = 38754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30945 / 38754 ti = "16/30945/38754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30945/38754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30945 ÷ 216
    30945 ÷ 65536     		x = 0.472183227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38754 ÷ 216
    38754 ÷ 65536     		y = 0.591339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472183227539062 × 2 - 1) × π
    -0.055633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17477794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.18267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.573900562251312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17477794} λ = -0.17477794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573900562251312))-π/2
    2×atan(0.563323867994277)-π/2
    2×0.513015086294813-π/2
    1.02603017258963-1.57079632675     		φ = -0.54476615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17477794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.014038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54476615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.212801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30945 KachelY 38754 -0.17477794 -0.54476615 -10.014038 -31.212801
    Oben rechts KachelX + 1 30946 KachelY 38754 -0.17468206 -0.54476615 -10.008545 -31.212801
    Unten links KachelX 30945 KachelY + 1 38755 -0.17477794 -0.54484815 -10.014038 -31.217499
    Unten rechts KachelX + 1 30946 KachelY + 1 38755 -0.17468206 -0.54484815 -10.008545 -31.217499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54476615--0.54484815) × R
    8.20000000000265e-05 × 6371000     		dl = 522.422000000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54476615--0.54484815) × R
    8.20000000000265e-05 × 6371000     		dr = 522.422000000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17477794--0.17468206) × cos(-0.54476615) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855248499468221 × 6371000     		do = 522.429811667902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17477794--0.17468206) × cos(-0.54484815) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855206002708328 × 6371000     		du = 522.403852459226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54476615)-sin(-0.54484815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855248499468221-0.855206002708328)×R²
    abs(-0.17468206--0.17477794)×4.24967598925408e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24967598925408e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24967598925408e-05×40589641000000     		ar = 272922.046393181m²