Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30944 / 19680
↖ ↑ ↗
← N 58.170703°
W 10.019531°		 ← 322.12 m → N 58.170703°
W 10.014038°		 →
↑
322.18 m
↓
↑
322.18 m
↓
N 58.167805°
W 10.019531°		 ← 322.15 m →
103 786 m²		 N 58.167805°
W 10.014038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472175598144531 y=0.300300598144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472175598144531 × 216)
    floor (0.472175598144531 × 65536)
    floor (30944.5)     		tx = 30944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300300598144531 × 216)
    floor (0.300300598144531 × 65536)
    floor (19680.5)     		ty = 19680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30944 / 19680 ti = "16/30944/19680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30944/19680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30944 ÷ 216
    30944 ÷ 65536     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19680 ÷ 216
    19680 ÷ 65536     		y = 0.30029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30029296875 × 2 - 1) × π
    0.3994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25479628445459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25479628445459))-π/2
    2×atan(3.50712384591769)-π/2
    2×1.29303330665543-π/2
    2.58606661331086-1.57079632675     		φ = 1.01527029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01527029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.170703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30944 KachelY 19680 -0.17487381 1.01527029 -10.019531 58.170703
    Oben rechts KachelX + 1 30945 KachelY 19680 -0.17477794 1.01527029 -10.014038 58.170703
    Unten links KachelX 30944 KachelY + 1 19681 -0.17487381 1.01521972 -10.019531 58.167805
    Unten rechts KachelX + 1 30945 KachelY + 1 19681 -0.17477794 1.01521972 -10.014038 58.167805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01527029-1.01521972) × R
    5.0569999999972e-05 × 6371000     		dl = 322.181469999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01527029-1.01521972) × R
    5.0569999999972e-05 × 6371000     		dr = 322.181469999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17477794) × cos(1.01527029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527390306179784 × 6371000     		do = 322.12354903116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17477794) × cos(1.01521972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527433270947153 × 6371000     		du = 322.14979138561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01527029)-sin(1.01521972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527390306179784-0.527433270947153)×R²
    abs(-0.17477794--0.17487381)×4.29647673686473e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29647673686473e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29647673686473e-05×40589641000000     		ar = 103786.465970766m²