Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30943 / 38575
↖ ↑ ↗
← S 30.368136°
W 10.025024°		 ← 526.98 m → S 30.368136°
W 10.019531°		 →
↑
527.01 m
↓
↑
527.01 m
↓
S 30.372875°
W 10.025024°		 ← 526.96 m →
277 719 m²		 S 30.372875°
W 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472160339355469 y=0.588615417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472160339355469 × 216)
    floor (0.472160339355469 × 65536)
    floor (30943.5)     		tx = 30943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588615417480469 × 216)
    floor (0.588615417480469 × 65536)
    floor (38575.5)     		ty = 38575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30943 / 38575 ti = "16/30943/38575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30943/38575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30943 ÷ 216
    30943 ÷ 65536     		x = 0.472152709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38575 ÷ 216
    38575 ÷ 65536     		y = 0.588607788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472152709960938 × 2 - 1) × π
    -0.055694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17496968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588607788085938 × 2 - 1) × π
    -0.177215576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.556739152187332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17496968} λ = -0.17496968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556739152187332))-π/2
    2×atan(0.573074729848534)-π/2
    2×0.520386184452298-π/2
    1.0407723689046-1.57079632675     		φ = -0.53002396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17496968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.025024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53002396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.368136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30943 KachelY 38575 -0.17496968 -0.53002396 -10.025024 -30.368136
    Oben rechts KachelX + 1 30944 KachelY 38575 -0.17487381 -0.53002396 -10.019531 -30.368136
    Unten links KachelX 30943 KachelY + 1 38576 -0.17496968 -0.53010668 -10.025024 -30.372875
    Unten rechts KachelX + 1 30944 KachelY + 1 38576 -0.17487381 -0.53010668 -10.019531 -30.372875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53002396--0.53010668) × R
    8.27200000000916e-05 × 6371000     		dl = 527.009120000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53002396--0.53010668) × R
    8.27200000000916e-05 × 6371000     		dr = 527.009120000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17496968--0.17487381) × cos(-0.53002396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862794957688246 × 6371000     		do = 526.984608173637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17496968--0.17487381) × cos(-0.53010668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.862753135308383 × 6371000     		du = 526.959063575504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53002396)-sin(-0.53010668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862794957688246-0.862753135308383)×R²
    abs(-0.17487381--0.17496968)×4.18223798632766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18223798632766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18223798632766e-05×40589641000000     		ar = 277718.963647754m²