Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30940 / 38886
↖ ↑ ↗
← S 31.830899°
W 10.041504°		 ← 518.98 m → S 31.830899°
W 10.036011°		 →
↑
518.98 m
↓
↑
518.98 m
↓
S 31.835566°
W 10.041504°		 ← 518.96 m →
269 337 m²		 S 31.835566°
W 10.036011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472114562988281 y=0.593360900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472114562988281 × 216)
    floor (0.472114562988281 × 65536)
    floor (30940.5)     		tx = 30940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593360900878906 × 216)
    floor (0.593360900878906 × 65536)
    floor (38886.5)     		ty = 38886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30940 / 38886 ti = "16/30940/38886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30940/38886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30940 ÷ 216
    30940 ÷ 65536     		x = 0.47210693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38886 ÷ 216
    38886 ÷ 65536     		y = 0.593353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.0557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17525731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.18670654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.586555903751007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17525731} λ = -0.17525731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586555903751007))-π/2
    2×atan(0.556239732693574)-π/2
    2×0.507621167141464-π/2
    1.01524233428293-1.57079632675     		φ = -0.55555399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17525731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55555399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.830899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30940 KachelY 38886 -0.17525731 -0.55555399 -10.041504 -31.830899
    Oben rechts KachelX + 1 30941 KachelY 38886 -0.17516143 -0.55555399 -10.036011 -31.830899
    Unten links KachelX 30940 KachelY + 1 38887 -0.17525731 -0.55563545 -10.041504 -31.835566
    Unten rechts KachelX + 1 30941 KachelY + 1 38887 -0.17516143 -0.55563545 -10.036011 -31.835566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55555399--0.55563545) × R
    8.14599999999777e-05 × 6371000     		dl = 518.981659999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55555399--0.55563545) × R
    8.14599999999777e-05 × 6371000     		dr = 518.981659999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17525731--0.17516143) × cos(-0.55555399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.849608388546574 × 6371000     		do = 518.98454156405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17525731--0.17516143) × cos(-0.55563545) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.84956542257876 × 6371000     		du = 518.958295739021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55555399)-sin(-0.55563545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849608388546574-0.84956542257876)×R²
    abs(-0.17516143--0.17525731)×4.29659678133909e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29659678133909e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29659678133909e-05×40589641000000     		ar = 269336.648492974m²