Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30940 / 17276
↖ ↑ ↗
← N 64.482261°
W 10.041504°		 ← 263.15 m → N 64.482261°
W 10.036011°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
N 64.479894°
W 10.041504°		 ← 263.17 m →
69 243 m²		 N 64.479894°
W 10.036011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472114562988281 y=0.263618469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472114562988281 × 216)
    floor (0.472114562988281 × 65536)
    floor (30940.5)     		tx = 30940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263618469238281 × 216)
    floor (0.263618469238281 × 65536)
    floor (17276.5)     		ty = 17276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30940 / 17276 ti = "16/30940/17276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30940/17276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30940 ÷ 216
    30940 ÷ 65536     		x = 0.47210693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17276 ÷ 216
    17276 ÷ 65536     		y = 0.26361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.0557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17525731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26361083984375 × 2 - 1) × π
    0.4727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48527689782782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17525731} λ = -0.17525731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48527689782782))-π/2
    2×atan(4.41618807637991)-π/2
    2×1.34811204579087-π/2
    2.69622409158174-1.57079632675     		φ = 1.12542776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17525731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12542776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.482261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30940 KachelY 17276 -0.17525731 1.12542776 -10.041504 64.482261
    Oben rechts KachelX + 1 30941 KachelY 17276 -0.17516143 1.12542776 -10.036011 64.482261
    Unten links KachelX 30940 KachelY + 1 17277 -0.17525731 1.12538646 -10.041504 64.479894
    Unten rechts KachelX + 1 30941 KachelY + 1 17277 -0.17516143 1.12538646 -10.036011 64.479894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12542776-1.12538646) × R
    4.12999999999109e-05 × 6371000     		dl = 263.122299999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12542776-1.12538646) × R
    4.12999999999109e-05 × 6371000     		dr = 263.122299999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17525731--0.17516143) × cos(1.12542776) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.430790523376344 × 6371000     		do = 263.149028774394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17525731--0.17516143) × cos(1.12538646) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.430827794274537 × 6371000     		du = 263.171795757716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12542776)-sin(1.12538646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430790523376344-0.430827794274537)×R²
    abs(-0.17516143--0.17525731)×3.72708981933867e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.72708981933867e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.72708981933867e-05×40589641000000     		ar = 69243.3729543628m²