Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30937 / 38067
↖ ↑ ↗
← S 27.931328°
W 10.057984°		 ← 539.69 m → S 27.931328°
W 10.052490°		 →
↑
539.62 m
↓
↑
539.62 m
↓
S 27.936180°
W 10.057984°		 ← 539.67 m →
291 225 m²		 S 27.936180°
W 10.052490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472068786621094 y=0.580863952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472068786621094 × 216)
    floor (0.472068786621094 × 65536)
    floor (30937.5)     		tx = 30937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580863952636719 × 216)
    floor (0.580863952636719 × 65536)
    floor (38067.5)     		ty = 38067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30937 / 38067 ti = "16/30937/38067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30937/38067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30937 ÷ 216
    30937 ÷ 65536     		x = 0.472061157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38067 ÷ 216
    38067 ÷ 65536     		y = 0.580856323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472061157226562 × 2 - 1) × π
    -0.055877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17554493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580856323242188 × 2 - 1) × π
    -0.161712646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.508035262173355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17554493} λ = -0.17554493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508035262173355))-π/2
    2×atan(0.601676554965051)-π/2
    2×0.541651349505327-π/2
    1.08330269901065-1.57079632675     		φ = -0.48749363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17554493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.057984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48749363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.931328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30937 KachelY 38067 -0.17554493 -0.48749363 -10.057984 -27.931328
    Oben rechts KachelX + 1 30938 KachelY 38067 -0.17544905 -0.48749363 -10.052490 -27.931328
    Unten links KachelX 30937 KachelY + 1 38068 -0.17554493 -0.48757833 -10.057984 -27.936180
    Unten rechts KachelX + 1 30938 KachelY + 1 38068 -0.17544905 -0.48757833 -10.052490 -27.936180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48749363--0.48757833) × R
    8.46999999999931e-05 × 6371000     		dl = 539.623699999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48749363--0.48757833) × R
    8.46999999999931e-05 × 6371000     		dr = 539.623699999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17554493--0.17544905) × cos(-0.48749363) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883509648624693 × 6371000     		do = 539.693176456632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17554493--0.17544905) × cos(-0.48757833) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883469970877867 × 6371000     		du = 539.66893924626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48749363)-sin(-0.48757833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883509648624693-0.883469970877867)×R²
    abs(-0.17544905--0.17554493)×3.96777468255616e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.96777468255616e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.96777468255616e-05×40589641000000     		ar = 291224.689431807m²