Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30937 / 20425
↖ ↑ ↗
← N 55.946124°
W 10.057984°		 ← 342.06 m → N 55.946124°
W 10.052490°		 →
↑
342.06 m
↓
↑
342.06 m
↓
N 55.943048°
W 10.057984°		 ← 342.09 m →
117 009 m²		 N 55.943048°
W 10.052490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472068786621094 y=0.311668395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472068786621094 × 216)
    floor (0.472068786621094 × 65536)
    floor (30937.5)     		tx = 30937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311668395996094 × 216)
    floor (0.311668395996094 × 65536)
    floor (20425.5)     		ty = 20425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30937 / 20425 ti = "16/30937/20425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30937/20425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30937 ÷ 216
    30937 ÷ 65536     		x = 0.472061157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20425 ÷ 216
    20425 ÷ 65536     		y = 0.311660766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472061157226562 × 2 - 1) × π
    -0.055877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17554493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311660766601562 × 2 - 1) × π
    0.376678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18337030402071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17554493} λ = -0.17554493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18337030402071))-π/2
    2×atan(3.26536093726827)-π/2
    2×1.27362019650933-π/2
    2.54724039301867-1.57079632675     		φ = 0.97644407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17554493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.057984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97644407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.946124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30937 KachelY 20425 -0.17554493 0.97644407 -10.057984 55.946124
    Oben rechts KachelX + 1 30938 KachelY 20425 -0.17544905 0.97644407 -10.052490 55.946124
    Unten links KachelX 30937 KachelY + 1 20426 -0.17554493 0.97639038 -10.057984 55.943048
    Unten rechts KachelX + 1 30938 KachelY + 1 20426 -0.17544905 0.97639038 -10.052490 55.943048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97644407-0.97639038) × R
    5.36899999999951e-05 × 6371000     		dl = 342.058989999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97644407-0.97639038) × R
    5.36899999999951e-05 × 6371000     		dr = 342.058989999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17554493--0.17544905) × cos(0.97644407) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.559972209386638 × 6371000     		do = 342.059852862671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17554493--0.17544905) × cos(0.97639038) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.560016691356097 × 6371000     		du = 342.087024739549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97644407)-sin(0.97639038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559972209386638-0.560016691356097)×R²
    abs(-0.17544905--0.17554493)×4.44819694591647e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44819694591647e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44819694591647e-05×40589641000000     		ar = 117009.295010389m²