Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30934 / 6326
↖ ↑ ↗
← N 73.459729°
E159.851074°		 ← 347.79 m → N 73.459729°
E159.862061°		 →
↑
347.79 m
↓
↑
347.79 m
↓
N 73.456601°
E159.851074°		 ← 347.85 m →
120 969 m²		 N 73.456601°
E159.862061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944046020507812 y=0.193069458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944046020507812 × 215)
    floor (0.944046020507812 × 32768)
    floor (30934.5)     		tx = 30934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193069458007812 × 215)
    floor (0.193069458007812 × 32768)
    floor (6326.5)     		ty = 6326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30934 / 6326 ti = "15/30934/6326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30934/6326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30934 ÷ 215
    30934 ÷ 32768     		x = 0.94403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6326 ÷ 215
    6326 ÷ 32768     		y = 0.19305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94403076171875 × 2 - 1) × π
    0.8880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78992756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19305419921875 × 2 - 1) × π
    0.6138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9285973455141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78992756} λ = 2.78992756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9285973455141))-π/2
    2×atan(6.87985341331529)-π/2
    2×1.42645523526431-π/2
    2.85291047052862-1.57079632675     		φ = 1.28211414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78992756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28211414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.459729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30934 KachelY 6326 2.78992756 1.28211414 159.851074 73.459729
    Oben rechts KachelX + 1 30935 KachelY 6326 2.79011931 1.28211414 159.862061 73.459729
    Unten links KachelX 30934 KachelY + 1 6327 2.78992756 1.28205955 159.851074 73.456601
    Unten rechts KachelX + 1 30935 KachelY + 1 6327 2.79011931 1.28205955 159.862061 73.456601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28211414-1.28205955) × R
    5.45899999999655e-05 × 6371000     		dl = 347.79288999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28211414-1.28205955) × R
    5.45899999999655e-05 × 6371000     		dr = 347.79288999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78992756-2.79011931) × cos(1.28211414) × R
    0.000191749999999935 × 0.284689190740669 × 6371000     		do = 347.78748945942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78992756-2.79011931) × cos(1.28205955) × R
    0.000191749999999935 × 0.284741521375421 × 6371000     		du = 347.85141861681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28211414)-sin(1.28205955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284689190740669-0.284741521375421)×R²
    abs(2.79011931-2.78992756)×5.23306347516295e-05×R²
    0.000191749999999935×5.23306347516295e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.23306347516295e-05×40589641000000     		ar = 120969.13314849m²