Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30934 / 38874
↖ ↑ ↗
← S 31.774877°
W 10.074463°		 ← 519.30 m → S 31.774877°
W 10.068969°		 →
↑
519.30 m
↓
↑
519.30 m
↓
S 31.779548°
W 10.074463°		 ← 519.27 m →
269 665 m²		 S 31.779548°
W 10.068969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472023010253906 y=0.593177795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472023010253906 × 216)
    floor (0.472023010253906 × 65536)
    floor (30934.5)     		tx = 30934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593177795410156 × 216)
    floor (0.593177795410156 × 65536)
    floor (38874.5)     		ty = 38874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30934 / 38874 ti = "16/30934/38874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30934/38874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30934 ÷ 216
    30934 ÷ 65536     		x = 0.472015380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38874 ÷ 216
    38874 ÷ 65536     		y = 0.593170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.05596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17583255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.18634033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.585405418160126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17583255} λ = -0.17583255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585405418160126))-π/2
    2×atan(0.556880046756538)-π/2
    2×0.508110046473956-π/2
    1.01622009294791-1.57079632675     		φ = -0.55457623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17583255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.074463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55457623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.774877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30934 KachelY 38874 -0.17583255 -0.55457623 -10.074463 -31.774877
    Oben rechts KachelX + 1 30935 KachelY 38874 -0.17573667 -0.55457623 -10.068969 -31.774877
    Unten links KachelX 30934 KachelY + 1 38875 -0.17583255 -0.55465774 -10.074463 -31.779548
    Unten rechts KachelX + 1 30935 KachelY + 1 38875 -0.17573667 -0.55465774 -10.068969 -31.779548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55457623--0.55465774) × R
    8.15100000000069e-05 × 6371000     		dl = 519.300210000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55457623--0.55465774) × R
    8.15100000000069e-05 × 6371000     		dr = 519.300210000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17583255--0.17573667) × cos(-0.55457623) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850123666712485 × 6371000     		do = 519.299299994309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17583255--0.17573667) × cos(-0.55465774) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850080742100759 × 6371000     		du = 519.273079431707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55457623)-sin(-0.55465774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850123666712485-0.850080742100759)×R²
    abs(-0.17573667--0.17583255)×4.29246117262805e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29246117262805e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29246117262805e-05×40589641000000     		ar = 269665.427517475m²