Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30931 / 6351
↖ ↑ ↗
← N 73.381357°
E159.818116°		 ← 349.37 m → N 73.381357°
E159.829101°		 →
↑
349.39 m
↓
↑
349.39 m
↓
N 73.378215°
E159.818116°		 ← 349.44 m →
122 076 m²		 N 73.378215°
E159.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943954467773438 y=0.193832397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943954467773438 × 215)
    floor (0.943954467773438 × 32768)
    floor (30931.5)     		tx = 30931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193832397460938 × 215)
    floor (0.193832397460938 × 32768)
    floor (6351.5)     		ty = 6351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30931 / 6351 ti = "15/30931/6351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30931/6351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30931 ÷ 215
    30931 ÷ 32768     		x = 0.943939208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6351 ÷ 215
    6351 ÷ 32768     		y = 0.193817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943939208984375 × 2 - 1) × π
    0.88787841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78935232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193817138671875 × 2 - 1) × π
    0.61236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92380365555209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78935232} λ = 2.78935232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92380365555209))-π/2
    2×atan(6.84695245057907)-π/2
    2×1.42577130939968-π/2
    2.85154261879935-1.57079632675     		φ = 1.28074629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78935232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.818116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28074629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.381357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30931 KachelY 6351 2.78935232 1.28074629 159.818116 73.381357
    Oben rechts KachelX + 1 30932 KachelY 6351 2.78954406 1.28074629 159.829101 73.381357
    Unten links KachelX 30931 KachelY + 1 6352 2.78935232 1.28069145 159.818116 73.378215
    Unten rechts KachelX + 1 30932 KachelY + 1 6352 2.78954406 1.28069145 159.829101 73.378215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28074629-1.28069145) × R
    5.48400000000004e-05 × 6371000     		dl = 349.385640000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28074629-1.28069145) × R
    5.48400000000004e-05 × 6371000     		dr = 349.385640000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78935232-2.78954406) × cos(1.28074629) × R
    0.000191739999999996 × 0.286000172199109 × 6371000     		do = 349.370814794212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78935232-2.78954406) × cos(1.28069145) × R
    0.000191739999999996 × 0.28605272107843 × 6371000     		du = 349.435007219845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28074629)-sin(1.28069145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286000172199109-0.28605272107843)×R²
    abs(2.78954406-2.78935232)×5.2548879320824e-05×R²
    0.000191739999999996×5.2548879320824e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.2548879320824e-05×40589641000000     		ar = 122076.3597107m²