Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30931 / 38875
↖ ↑ ↗
← S 31.779548°
W 10.090942°		 ← 519.22 m → S 31.779548°
W 10.085449°		 →
↑
519.17 m
↓
↑
519.17 m
↓
S 31.784217°
W 10.090942°		 ← 519.19 m →
269 558 m²		 S 31.784217°
W 10.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471977233886719 y=0.593193054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471977233886719 × 216)
    floor (0.471977233886719 × 65536)
    floor (30931.5)     		tx = 30931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593193054199219 × 216)
    floor (0.593193054199219 × 65536)
    floor (38875.5)     		ty = 38875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30931 / 38875 ti = "16/30931/38875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30931/38875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30931 ÷ 216
    30931 ÷ 65536     		x = 0.471969604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38875 ÷ 216
    38875 ÷ 65536     		y = 0.593185424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471969604492188 × 2 - 1) × π
    -0.056060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17612017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593185424804688 × 2 - 1) × π
    -0.186370849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.585501291959366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17612017} λ = -0.17612017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585501291959366))-π/2
    2×atan(0.556826659110013)-π/2
    2×0.508069295209906-π/2
    1.01613859041981-1.57079632675     		φ = -0.55465774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17612017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.090942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55465774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.779548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30931 KachelY 38875 -0.17612017 -0.55465774 -10.090942 -31.779548
    Oben rechts KachelX + 1 30932 KachelY 38875 -0.17602430 -0.55465774 -10.085449 -31.779548
    Unten links KachelX 30931 KachelY + 1 38876 -0.17612017 -0.55473923 -10.090942 -31.784217
    Unten rechts KachelX + 1 30932 KachelY + 1 38876 -0.17602430 -0.55473923 -10.085449 -31.784217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55465774--0.55473923) × R
    8.14900000000174e-05 × 6371000     		dl = 519.172790000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55465774--0.55473923) × R
    8.14900000000174e-05 × 6371000     		dr = 519.172790000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17612017--0.17602430) × cos(-0.55465774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850080742100759 × 6371000     		do = 519.218920787656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17612017--0.17602430) × cos(-0.55473923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850037822375631 × 6371000     		du = 519.192705944457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55465774)-sin(-0.55473923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850080742100759-0.850037822375631)×R²
    abs(-0.17602430--0.17612017)×4.29197251275992e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29197251275992e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29197251275992e-05×40589641000000     		ar = 269557.530858618m²