Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30930 / 17273
↖ ↑ ↗
← N 64.489359°
W 10.096435°		 ← 263.05 m → N 64.489359°
W 10.090942°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
N 64.486993°
W 10.096435°		 ← 263.08 m →
69 201 m²		 N 64.486993°
W 10.090942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471961975097656 y=0.263572692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471961975097656 × 216)
    floor (0.471961975097656 × 65536)
    floor (30930.5)     		tx = 30930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263572692871094 × 216)
    floor (0.263572692871094 × 65536)
    floor (17273.5)     		ty = 17273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30930 / 17273 ti = "16/30930/17273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30930/17273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30930 ÷ 216
    30930 ÷ 65536     		x = 0.471954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17273 ÷ 216
    17273 ÷ 65536     		y = 0.263565063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.05609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17621604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263565063476562 × 2 - 1) × π
    0.472869873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48556451922554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17621604} λ = -0.17621604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48556451922554))-π/2
    2×atan(4.41745844925149)-π/2
    2×1.34817399003671-π/2
    2.69634798007342-1.57079632675     		φ = 1.12555165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17621604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.096435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12555165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.489359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30930 KachelY 17273 -0.17621604 1.12555165 -10.096435 64.489359
    Oben rechts KachelX + 1 30931 KachelY 17273 -0.17612017 1.12555165 -10.090942 64.489359
    Unten links KachelX 30930 KachelY + 1 17274 -0.17621604 1.12551036 -10.096435 64.486993
    Unten rechts KachelX + 1 30931 KachelY + 1 17274 -0.17612017 1.12551036 -10.090942 64.486993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12555165-1.12551036) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dl = 263.058589999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12555165-1.12551036) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dr = 263.058589999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17621604--0.17612017) × cos(1.12555165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4306787152983 × 6371000     		do = 263.053292103508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17621604--0.17612017) × cos(1.12551036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430715979375635 × 6371000     		du = 263.076052546204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12555165)-sin(1.12551036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4306787152983-0.430715979375635)×R²
    abs(-0.17612017--0.17621604)×3.72640773347865e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72640773347865e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72640773347865e-05×40589641000000     		ar = 69201.421790276m²