Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30928 / 6345
↖ ↑ ↗
← N 73.400199°
E159.785156°		 ← 349 m → N 73.400199°
E159.796143°		 →
↑
349 m
↓
↑
349 m
↓
N 73.397061°
E159.785156°		 ← 349.07 m →
121 815 m²		 N 73.397061°
E159.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943862915039062 y=0.193649291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943862915039062 × 215)
    floor (0.943862915039062 × 32768)
    floor (30928.5)     		tx = 30928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193649291992188 × 215)
    floor (0.193649291992188 × 32768)
    floor (6345.5)     		ty = 6345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30928 / 6345 ti = "15/30928/6345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30928/6345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30928 ÷ 215
    30928 ÷ 32768     		x = 0.94384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6345 ÷ 215
    6345 ÷ 32768     		y = 0.193634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94384765625 × 2 - 1) × π
    0.8876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78877707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193634033203125 × 2 - 1) × π
    0.61273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92495414114297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78877707} λ = 2.78877707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92495414114297))-π/2
    2×atan(6.85483430382482)-π/2
    2×1.4259357382819-π/2
    2.85187147656379-1.57079632675     		φ = 1.28107515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78877707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28107515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.400199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30928 KachelY 6345 2.78877707 1.28107515 159.785156 73.400199
    Oben rechts KachelX + 1 30929 KachelY 6345 2.78896882 1.28107515 159.796143 73.400199
    Unten links KachelX 30928 KachelY + 1 6346 2.78877707 1.28102037 159.785156 73.397061
    Unten rechts KachelX + 1 30929 KachelY + 1 6346 2.78896882 1.28102037 159.796143 73.397061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28107515-1.28102037) × R
    5.4779999999921e-05 × 6371000     		dl = 349.003379999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28107515-1.28102037) × R
    5.4779999999921e-05 × 6371000     		dr = 349.003379999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78877707-2.78896882) × cos(1.28107515) × R
    0.000191749999999935 × 0.285685033364353 × 6371000     		do = 349.004049895335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78877707-2.78896882) × cos(1.28102037) × R
    0.000191749999999935 × 0.285737529900754 × 6371000     		du = 349.068181724691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28107515)-sin(1.28102037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285685033364353-0.285737529900754)×R²
    abs(2.78896882-2.78877707)×5.24965364007146e-05×R²
    0.000191749999999935×5.24965364007146e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.24965364007146e-05×40589641000000     		ar = 121814.784189929m²