Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30928 / 37937
↖ ↑ ↗
← S 27.298571°
W 10.107422°		 ← 542.76 m → S 27.298571°
W 10.101929°		 →
↑
542.75 m
↓
↑
542.75 m
↓
S 27.303452°
W 10.107422°		 ← 542.74 m →
294 576 m²		 S 27.303452°
W 10.101929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471931457519531 y=0.578880310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471931457519531 × 216)
    floor (0.471931457519531 × 65536)
    floor (30928.5)     		tx = 30928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578880310058594 × 216)
    floor (0.578880310058594 × 65536)
    floor (37937.5)     		ty = 37937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30928 / 37937 ti = "16/30928/37937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30928/37937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30928 ÷ 216
    30928 ÷ 65536     		x = 0.471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37937 ÷ 216
    37937 ÷ 65536     		y = 0.578872680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17640779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578872680664062 × 2 - 1) × π
    -0.157745361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.49557166827214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17640779} λ = -0.17640779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.49557166827214))-π/2
    2×atan(0.609222534535303)-π/2
    2×0.547173193368833-π/2
    1.09434638673767-1.57079632675     		φ = -0.47644994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17640779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47644994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.298571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30928 KachelY 37937 -0.17640779 -0.47644994 -10.107422 -27.298571
    Oben rechts KachelX + 1 30929 KachelY 37937 -0.17631192 -0.47644994 -10.101929 -27.298571
    Unten links KachelX 30928 KachelY + 1 37938 -0.17640779 -0.47653513 -10.107422 -27.303452
    Unten rechts KachelX + 1 30929 KachelY + 1 37938 -0.17631192 -0.47653513 -10.101929 -27.303452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47644994--0.47653513) × R
    8.51899999999572e-05 × 6371000     		dl = 542.745489999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47644994--0.47653513) × R
    8.51899999999572e-05 × 6371000     		dr = 542.745489999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17640779--0.17631192) × cos(-0.47644994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888628673755969 × 6371000     		do = 542.763526001454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17640779--0.17631192) × cos(-0.47653513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888589600064373 × 6371000     		du = 542.739660268498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47644994)-sin(-0.47653513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888628673755969-0.888589600064373)×R²
    abs(-0.17631192--0.17640779)×3.90736915965029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90736915965029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90736915965029e-05×40589641000000     		ar = 294575.979542351m²