Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30924 / 6224
↖ ↑ ↗
← N 73.775780°
E159.741211°		 ← 341.32 m → N 73.775780°
E159.752197°		 →
↑
341.36 m
↓
↑
341.36 m
↓
N 73.772710°
E159.741211°		 ← 341.39 m →
116 524 m²		 N 73.772710°
E159.752197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943740844726562 y=0.189956665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943740844726562 × 215)
    floor (0.943740844726562 × 32768)
    floor (30924.5)     		tx = 30924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189956665039062 × 215)
    floor (0.189956665039062 × 32768)
    floor (6224.5)     		ty = 6224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30924 / 6224 ti = "15/30924/6224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30924/6224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30924 ÷ 215
    30924 ÷ 32768     		x = 0.9437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6224 ÷ 215
    6224 ÷ 32768     		y = 0.18994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9437255859375 × 2 - 1) × π
    0.887451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78801008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18994140625 × 2 - 1) × π
    0.6201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94815560055908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78801008} λ = 2.78801008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94815560055908))-π/2
    2×atan(7.01573582092603)-π/2
    2×1.42921329679801-π/2
    2.85842659359602-1.57079632675     		φ = 1.28763027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78801008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28763027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.775780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30924 KachelY 6224 2.78801008 1.28763027 159.741211 73.775780
    Oben rechts KachelX + 1 30925 KachelY 6224 2.78820183 1.28763027 159.752197 73.775780
    Unten links KachelX 30924 KachelY + 1 6225 2.78801008 1.28757669 159.741211 73.772710
    Unten rechts KachelX + 1 30925 KachelY + 1 6225 2.78820183 1.28757669 159.752197 73.772710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28763027-1.28757669) × R
    5.35799999998865e-05 × 6371000     		dl = 341.358179999277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28763027-1.28757669) × R
    5.35799999998865e-05 × 6371000     		dr = 341.358179999277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78801008-2.78820183) × cos(1.28763027) × R
    0.000191750000000379 × 0.279397014499769 × 6371000     		do = 341.322359246411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78801008-2.78820183) × cos(1.28757669) × R
    0.000191750000000379 × 0.279448460310844 × 6371000     		du = 341.385207468469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28763027)-sin(1.28757669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279397014499769-0.279448460310844)×R²
    abs(2.78820183-2.78801008)×5.14458110748017e-05×R²
    0.000191750000000379×5.14458110748017e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.14458110748017e-05×40589641000000     		ar = 116523.90625074m²