Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30924 / 37940
↖ ↑ ↗
← S 27.313214°
W 10.129395°		 ← 542.75 m → S 27.313214°
W 10.123901°		 →
↑
542.68 m
↓
↑
542.68 m
↓
S 27.318094°
W 10.129395°		 ← 542.72 m →
294 533 m²		 S 27.318094°
W 10.123901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471870422363281 y=0.578926086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471870422363281 × 216)
    floor (0.471870422363281 × 65536)
    floor (30924.5)     		tx = 30924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578926086425781 × 216)
    floor (0.578926086425781 × 65536)
    floor (37940.5)     		ty = 37940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30924 / 37940 ti = "16/30924/37940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30924/37940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30924 ÷ 216
    30924 ÷ 65536     		x = 0.47186279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37940 ÷ 216
    37940 ÷ 65536     		y = 0.57891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.0562744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17679129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57891845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1578369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.495859289669861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17679129} λ = -0.17679129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.495859289669861))-π/2
    2×atan(0.609047334295274)-π/2
    2×0.547045407487998-π/2
    1.094090814976-1.57079632675     		φ = -0.47670551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17679129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.129395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47670551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.313214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30924 KachelY 37940 -0.17679129 -0.47670551 -10.129395 -27.313214
    Oben rechts KachelX + 1 30925 KachelY 37940 -0.17669541 -0.47670551 -10.123901 -27.313214
    Unten links KachelX 30924 KachelY + 1 37941 -0.17679129 -0.47679069 -10.129395 -27.318094
    Unten rechts KachelX + 1 30925 KachelY + 1 37941 -0.17669541 -0.47679069 -10.123901 -27.318094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47670551--0.47679069) × R
    8.5180000000018e-05 × 6371000     		dl = 542.681780000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47670551--0.47679069) × R
    8.5180000000018e-05 × 6371000     		dr = 542.681780000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17679129--0.17669541) × cos(-0.47670551) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.888511433335083 × 6371000     		do = 542.748524049615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17679129--0.17669541) × cos(-0.47679069) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.888472344887259 × 6371000     		du = 542.724646813411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47670551)-sin(-0.47679069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888511433335083-0.888472344887259)×R²
    abs(-0.17669541--0.17679129)×3.90884478240761e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.90884478240761e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.90884478240761e-05×40589641000000     		ar = 294533.256431094m²