Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30922 / 6313
↖ ↑ ↗
← N 73.500341°
E159.719238°		 ← 346.94 m → N 73.500341°
E159.730224°		 →
↑
347.03 m
↓
↑
347.03 m
↓
N 73.497220°
E159.719238°		 ← 347 m →
120 409 m²		 N 73.497220°
E159.730224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943679809570312 y=0.192672729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943679809570312 × 215)
    floor (0.943679809570312 × 32768)
    floor (30922.5)     		tx = 30922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192672729492188 × 215)
    floor (0.192672729492188 × 32768)
    floor (6313.5)     		ty = 6313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30922 / 6313 ti = "15/30922/6313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30922/6313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30922 ÷ 215
    30922 ÷ 32768     		x = 0.94366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6313 ÷ 215
    6313 ÷ 32768     		y = 0.192657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94366455078125 × 2 - 1) × π
    0.8873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78762659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192657470703125 × 2 - 1) × π
    0.61468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93109006429434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78762659} λ = 2.78762659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93109006429434))-π/2
    2×atan(6.89702434538523)-π/2
    2×1.42680963667418-π/2
    2.85361927334836-1.57079632675     		φ = 1.28282295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78762659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28282295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.500341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30922 KachelY 6313 2.78762659 1.28282295 159.719238 73.500341
    Oben rechts KachelX + 1 30923 KachelY 6313 2.78781833 1.28282295 159.730224 73.500341
    Unten links KachelX 30922 KachelY + 1 6314 2.78762659 1.28276848 159.719238 73.497220
    Unten rechts KachelX + 1 30923 KachelY + 1 6314 2.78781833 1.28276848 159.730224 73.497220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28282295-1.28276848) × R
    5.44699999998066e-05 × 6371000     		dl = 347.028369998768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28282295-1.28276848) × R
    5.44699999998066e-05 × 6371000     		dr = 347.028369998768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78762659-2.78781833) × cos(1.28282295) × R
    0.000191739999999996 × 0.284009639928417 × 6371000     		do = 346.939229260754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78762659-2.78781833) × cos(1.28276848) × R
    0.000191739999999996 × 0.284061866510068 × 6371000     		du = 347.003027975437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28282295)-sin(1.28276848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284009639928417-0.284061866510068)×R²
    abs(2.78781833-2.78762659)×5.22265816507717e-05×R²
    0.000191739999999996×5.22265816507717e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.22265816507717e-05×40589641000000     		ar = 120408.825230526m²