Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30922 / 38883
↖ ↑ ↗
← S 31.816897°
W 10.140381°		 ← 519.01 m → S 31.816897°
W 10.134888°		 →
↑
518.98 m
↓
↑
518.98 m
↓
S 31.821564°
W 10.140381°		 ← 518.98 m →
269 349 m²		 S 31.821564°
W 10.134888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471839904785156 y=0.593315124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471839904785156 × 216)
    floor (0.471839904785156 × 65536)
    floor (30922.5)     		tx = 30922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593315124511719 × 216)
    floor (0.593315124511719 × 65536)
    floor (38883.5)     		ty = 38883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30922 / 38883 ti = "16/30922/38883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30922/38883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30922 ÷ 216
    30922 ÷ 65536     		x = 0.471832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38883 ÷ 216
    38883 ÷ 65536     		y = 0.593307495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.05633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17698303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593307495117188 × 2 - 1) × π
    -0.186614990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.586268282353287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17698303} λ = -0.17698303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586268282353287))-π/2
    2×atan(0.556399742152928)-π/2
    2×0.507743359183934-π/2
    1.01548671836787-1.57079632675     		φ = -0.55530961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17698303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55530961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.816897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30922 KachelY 38883 -0.17698303 -0.55530961 -10.140381 -31.816897
    Oben rechts KachelX + 1 30923 KachelY 38883 -0.17688716 -0.55530961 -10.134888 -31.816897
    Unten links KachelX 30922 KachelY + 1 38884 -0.17698303 -0.55539107 -10.140381 -31.821564
    Unten rechts KachelX + 1 30923 KachelY + 1 38884 -0.17688716 -0.55539107 -10.134888 -31.821564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55530961--0.55539107) × R
    8.14599999999777e-05 × 6371000     		dl = 518.981659999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55530961--0.55539107) × R
    8.14599999999777e-05 × 6371000     		dr = 518.981659999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17698303--0.17688716) × cos(-0.55530961) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.849737252622235 × 6371000     		do = 519.0091216152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17698303--0.17688716) × cos(-0.55539107) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.849694303568596 × 6371000     		du = 518.982888858505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55530961)-sin(-0.55539107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849737252622235-0.849694303568596)×R²
    abs(-0.17688716--0.17698303)×4.29490536385524e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.29490536385524e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.29490536385524e-05×40589641000000     		ar = 269349.408479768m²