Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30921 / 6333
↖ ↑ ↗
← N 73.437821°
E159.708252°		 ← 348.24 m → N 73.437821°
E159.719238°		 →
↑
348.30 m
↓
↑
348.30 m
↓
N 73.434689°
E159.708252°		 ← 348.30 m →
121 302 m²		 N 73.434689°
E159.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943649291992188 y=0.193283081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943649291992188 × 215)
    floor (0.943649291992188 × 32768)
    floor (30921.5)     		tx = 30921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193283081054688 × 215)
    floor (0.193283081054688 × 32768)
    floor (6333.5)     		ty = 6333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30921 / 6333 ti = "15/30921/6333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30921/6333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30921 ÷ 215
    30921 ÷ 32768     		x = 0.943634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6333 ÷ 215
    6333 ÷ 32768     		y = 0.193267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943634033203125 × 2 - 1) × π
    0.88726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78743484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193267822265625 × 2 - 1) × π
    0.61346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92725511232474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78743484} λ = 2.78743484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92725511232474))-π/2
    2×atan(6.8706252402915)-π/2
    2×1.426264052661-π/2
    2.852528105322-1.57079632675     		φ = 1.28173178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78743484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28173178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.437821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30921 KachelY 6333 2.78743484 1.28173178 159.708252 73.437821
    Oben rechts KachelX + 1 30922 KachelY 6333 2.78762659 1.28173178 159.719238 73.437821
    Unten links KachelX 30921 KachelY + 1 6334 2.78743484 1.28167711 159.708252 73.434689
    Unten rechts KachelX + 1 30922 KachelY + 1 6334 2.78762659 1.28167711 159.719238 73.434689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28173178-1.28167711) × R
    5.46700000001454e-05 × 6371000     		dl = 348.302570000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28173178-1.28167711) × R
    5.46700000001454e-05 × 6371000     		dr = 348.302570000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78743484-2.78762659) × cos(1.28173178) × R
    0.000191749999999935 × 0.285055707816468 × 6371000     		do = 348.235241105011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78743484-2.78762659) × cos(1.28167711) × R
    0.000191749999999935 × 0.285108109184152 × 6371000     		du = 348.299256672527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28173178)-sin(1.28167711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285055707816468-0.285108109184152)×R²
    abs(2.78762659-2.78743484)×5.24013676839741e-05×R²
    0.000191749999999935×5.24013676839741e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.24013676839741e-05×40589641000000     		ar = 121302.377864704m²