Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30920 / 6252
↖ ↑ ↗
← N 73.689611°
E159.697266°		 ← 343.09 m → N 73.689611°
E159.708252°		 →
↑
343.14 m
↓
↑
343.14 m
↓
N 73.686525°
E159.697266°		 ← 343.15 m →
117 738 m²		 N 73.686525°
E159.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943618774414062 y=0.190811157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943618774414062 × 215)
    floor (0.943618774414062 × 32768)
    floor (30920.5)     		tx = 30920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190811157226562 × 215)
    floor (0.190811157226562 × 32768)
    floor (6252.5)     		ty = 6252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30920 / 6252 ti = "15/30920/6252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30920/6252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30920 ÷ 215
    30920 ÷ 32768     		x = 0.943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6252 ÷ 215
    6252 ÷ 32768     		y = 0.1907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943603515625 × 2 - 1) × π
    0.88720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78724309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1907958984375 × 2 - 1) × π
    0.618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94278666780164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78724309} λ = 2.78724309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94278666780164))-π/2
    2×atan(6.97816974217304)-π/2
    2×1.42846132860311-π/2
    2.85692265720621-1.57079632675     		φ = 1.28612633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78724309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28612633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.689611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30920 KachelY 6252 2.78724309 1.28612633 159.697266 73.689611
    Oben rechts KachelX + 1 30921 KachelY 6252 2.78743484 1.28612633 159.708252 73.689611
    Unten links KachelX 30920 KachelY + 1 6253 2.78724309 1.28607247 159.697266 73.686525
    Unten rechts KachelX + 1 30921 KachelY + 1 6253 2.78743484 1.28607247 159.708252 73.686525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28612633-1.28607247) × R
    5.38600000001832e-05 × 6371000     		dl = 343.142060001167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28612633-1.28607247) × R
    5.38600000001832e-05 × 6371000     		dr = 343.142060001167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78724309-2.78743484) × cos(1.28612633) × R
    0.000191749999999935 × 0.28084074457053 × 6371000     		do = 343.086076566467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78724309-2.78743484) × cos(1.28607247) × R
    0.000191749999999935 × 0.280892436534242 × 6371000     		du = 343.149225498248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28612633)-sin(1.28607247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28084074457053-0.280892436534242)×R²
    abs(2.78743484-2.78724309)×5.16919637122415e-05×R²
    0.000191749999999935×5.16919637122415e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.16919637122415e-05×40589641000000     		ar = 117738.097625808m²