Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30920 / 6220
↖ ↑ ↗
← N 73.788053°
E159.697266°		 ← 341.07 m → N 73.788053°
E159.708252°		 →
↑
341.10 m
↓
↑
341.10 m
↓
N 73.784986°
E159.697266°		 ← 341.13 m →
116 351 m²		 N 73.784986°
E159.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943618774414062 y=0.189834594726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943618774414062 × 215)
    floor (0.943618774414062 × 32768)
    floor (30920.5)     		tx = 30920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189834594726562 × 215)
    floor (0.189834594726562 × 32768)
    floor (6220.5)     		ty = 6220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30920 / 6220 ti = "15/30920/6220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30920/6220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30920 ÷ 215
    30920 ÷ 32768     		x = 0.943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6220 ÷ 215
    6220 ÷ 32768     		y = 0.1898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943603515625 × 2 - 1) × π
    0.88720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78724309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1898193359375 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.948922590953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78724309} λ = 2.78724309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.948922590953))-π/2
    2×atan(7.02111888702306)-π/2
    2×1.42932040476704-π/2
    2.85864080953408-1.57079632675     		φ = 1.28784448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78724309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28784448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.788053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30920 KachelY 6220 2.78724309 1.28784448 159.697266 73.788053
    Oben rechts KachelX + 1 30921 KachelY 6220 2.78743484 1.28784448 159.708252 73.788053
    Unten links KachelX 30920 KachelY + 1 6221 2.78724309 1.28779094 159.697266 73.784986
    Unten rechts KachelX + 1 30921 KachelY + 1 6221 2.78743484 1.28779094 159.708252 73.784986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28784448-1.28779094) × R
    5.35399999999076e-05 × 6371000     		dl = 341.103339999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28784448-1.28779094) × R
    5.35399999999076e-05 × 6371000     		dr = 341.103339999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78724309-2.78743484) × cos(1.28784448) × R
    0.000191749999999935 × 0.279191328861877 × 6371000     		do = 341.071085597211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78724309-2.78743484) × cos(1.28779094) × R
    0.000191749999999935 × 0.279242739469988 × 6371000     		du = 341.133890813946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28784448)-sin(1.28779094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279191328861877-0.279242739469988)×R²
    abs(2.78743484-2.78724309)×5.14106081115906e-05×R²
    0.000191749999999935×5.14106081115906e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.14106081115906e-05×40589641000000     		ar = 116351.198036731m²