Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30920 / 38851
↖ ↑ ↗
← S 31.667408°
W 10.151367°		 ← 519.85 m → S 31.667408°
W 10.145874°		 →
↑
519.87 m
↓
↑
519.87 m
↓
S 31.672084°
W 10.151367°		 ← 519.82 m →
270 248 m²		 S 31.672084°
W 10.145874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471809387207031 y=0.592826843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471809387207031 × 216)
    floor (0.471809387207031 × 65536)
    floor (30920.5)     		tx = 30920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592826843261719 × 216)
    floor (0.592826843261719 × 65536)
    floor (38851.5)     		ty = 38851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30920 / 38851 ti = "16/30920/38851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30920/38851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30920 ÷ 216
    30920 ÷ 65536     		x = 0.4718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38851 ÷ 216
    38851 ÷ 65536     		y = 0.592819213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17717478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592819213867188 × 2 - 1) × π
    -0.185638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.583200320777603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17717478} λ = -0.17717478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583200320777603))-π/2
    2×atan(0.558109376387666)-π/2
    2×0.509047893051293-π/2
    1.01809578610259-1.57079632675     		φ = -0.55270054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17717478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55270054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.667408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30920 KachelY 38851 -0.17717478 -0.55270054 -10.151367 -31.667408
    Oben rechts KachelX + 1 30921 KachelY 38851 -0.17707891 -0.55270054 -10.145874 -31.667408
    Unten links KachelX 30920 KachelY + 1 38852 -0.17717478 -0.55278214 -10.151367 -31.672084
    Unten rechts KachelX + 1 30921 KachelY + 1 38852 -0.17707891 -0.55278214 -10.145874 -31.672084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55270054--0.55278214) × R
    8.1600000000015e-05 × 6371000     		dl = 519.873600000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55270054--0.55278214) × R
    8.1600000000015e-05 × 6371000     		dr = 519.873600000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17717478--0.17707891) × cos(-0.55270054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851109877312894 × 6371000     		do = 519.847503988905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17717478--0.17707891) × cos(-0.55278214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851067035491464 × 6371000     		du = 519.821336728331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55270054)-sin(-0.55278214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851109877312894-0.851067035491464)×R²
    abs(-0.17707891--0.17717478)×4.28418214302173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28418214302173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28418214302173e-05×40589641000000     		ar = 270248.191665527m²