Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3092 / 3165
↖ ↑ ↗
← S 69.565226°
E 91.757812°		 ← 3 412.15 m → S 69.565226°
E 91.845703°		 →
↑
3 409.70 m
↓
↑
3 409.70 m
↓
S 69.595890°
E 91.757812°		 ← 3 407.25 m →
11 626 032 m²		 S 69.595890°
E 91.845703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7550048828125 y=0.7728271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7550048828125 × 212)
    floor (0.7550048828125 × 4096)
    floor (3092.5)     		tx = 3092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7728271484375 × 212)
    floor (0.7728271484375 × 4096)
    floor (3165.5)     		ty = 3165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3092 / 3165 ti = "12/3092/3165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3092/3165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3092 ÷ 212
    3092 ÷ 4096     		x = 0.7548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3165 ÷ 212
    3165 ÷ 4096     		y = 0.772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7548828125 × 2 - 1) × π
    0.509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60147594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60147594} λ = 1.60147594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71345654001929))-π/2
    2×atan(0.180241701985312)-π/2
    2×0.178327044968669-π/2
    0.356654089937337-1.57079632675     		φ = -1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60147594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.757812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3092 KachelY 3165 1.60147594 -1.21414224 91.757812 -69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 3093 KachelY 3165 1.60300992 -1.21414224 91.845703 -69.565226
    Unten links KachelX 3092 KachelY + 1 3166 1.60147594 -1.21467743 91.757812 -69.595890
    Unten rechts KachelX + 1 3093 KachelY + 1 3166 1.60300992 -1.21467743 91.845703 -69.595890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21414224--1.21467743) × R
    0.00053519000000013 × 6371000     		dl = 3409.69549000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21414224--1.21467743) × R
    0.00053519000000013 × 6371000     		dr = 3409.69549000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60147594-1.60300992) × cos(-1.21414224) × R
    0.00153398000000005 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 3412.14872137151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60147594-1.60300992) × cos(-1.21467743) × R
    0.00153398000000005 × 0.348639277088577 × 6371000     		du = 3407.24697624767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21414224)-sin(-1.21467743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.348639277088577)×R²
    abs(1.60300992-1.60147594)×0.000501560611356644×R²
    0.00153398000000005×0.000501560611356644×6371000²
    0.00153398000000005×0.000501560611356644×40589641000000     		ar = 11626031.6548536m²