Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30919 / 6251
↖ ↑ ↗
← N 73.692696°
E159.686279°		 ← 343.02 m → N 73.692696°
E159.697266°		 →
↑
343.08 m
↓
↑
343.08 m
↓
N 73.689611°
E159.686279°		 ← 343.09 m →
117 695 m²		 N 73.689611°
E159.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943588256835938 y=0.190780639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943588256835938 × 215)
    floor (0.943588256835938 × 32768)
    floor (30919.5)     		tx = 30919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190780639648438 × 215)
    floor (0.190780639648438 × 32768)
    floor (6251.5)     		ty = 6251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30919 / 6251 ti = "15/30919/6251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30919/6251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30919 ÷ 215
    30919 ÷ 32768     		x = 0.943572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6251 ÷ 215
    6251 ÷ 32768     		y = 0.190765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943572998046875 × 2 - 1) × π
    0.88714599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78705134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190765380859375 × 2 - 1) × π
    0.61846923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94297841540012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78705134} λ = 2.78705134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94297841540012))-π/2
    2×atan(6.97950791775477)-π/2
    2×1.42848825139483-π/2
    2.85697650278967-1.57079632675     		φ = 1.28618018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78705134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.686279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28618018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.692696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30919 KachelY 6251 2.78705134 1.28618018 159.686279 73.692696
    Oben rechts KachelX + 1 30920 KachelY 6251 2.78724309 1.28618018 159.697266 73.692696
    Unten links KachelX 30919 KachelY + 1 6252 2.78705134 1.28612633 159.686279 73.689611
    Unten rechts KachelX + 1 30920 KachelY + 1 6252 2.78724309 1.28612633 159.697266 73.689611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28618018-1.28612633) × R
    5.38499999997999e-05 × 6371000     		dl = 343.078349998725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28618018-1.28612633) × R
    5.38499999997999e-05 × 6371000     		dr = 343.078349998725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78705134-2.78724309) × cos(1.28618018) × R
    0.000191749999999935 × 0.280789061389822 × 6371000     		do = 343.02293836435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78705134-2.78724309) × cos(1.28612633) × R
    0.000191749999999935 × 0.28084074457053 × 6371000     		du = 343.086076566467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28618018)-sin(1.28612633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280789061389822-0.28084074457053)×R²
    abs(2.78724309-2.78705134)×5.16831807075846e-05×R²
    0.000191749999999935×5.16831807075846e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.16831807075846e-05×40589641000000     		ar = 117694.574409977m²