Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30918 / 6244
↖ ↑ ↗
← N 73.714276°
E159.675293°		 ← 342.56 m → N 73.714276°
E159.686279°		 →
↑
342.63 m
↓
↑
342.63 m
↓
N 73.711195°
E159.675293°		 ← 342.63 m →
117 384 m²		 N 73.711195°
E159.686279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943557739257812 y=0.190567016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943557739257812 × 215)
    floor (0.943557739257812 × 32768)
    floor (30918.5)     		tx = 30918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190567016601562 × 215)
    floor (0.190567016601562 × 32768)
    floor (6244.5)     		ty = 6244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30918 / 6244 ti = "15/30918/6244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30918/6244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30918 ÷ 215
    30918 ÷ 32768     		x = 0.94354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6244 ÷ 215
    6244 ÷ 32768     		y = 0.1905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94354248046875 × 2 - 1) × π
    0.8870849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78685960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1905517578125 × 2 - 1) × π
    0.618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94432064858948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78685960} λ = 2.78685960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94432064858948))-π/2
    2×atan(6.98888233484686)-π/2
    2×1.4286765722649-π/2
    2.85735314452979-1.57079632675     		φ = 1.28655682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78685960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28655682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.714276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30918 KachelY 6244 2.78685960 1.28655682 159.675293 73.714276
    Oben rechts KachelX + 1 30919 KachelY 6244 2.78705134 1.28655682 159.686279 73.714276
    Unten links KachelX 30918 KachelY + 1 6245 2.78685960 1.28650304 159.675293 73.711195
    Unten rechts KachelX + 1 30919 KachelY + 1 6245 2.78705134 1.28650304 159.686279 73.711195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28655682-1.28650304) × R
    5.37800000000033e-05 × 6371000     		dl = 342.632380000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28655682-1.28650304) × R
    5.37800000000033e-05 × 6371000     		dr = 342.632380000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78685960-2.78705134) × cos(1.28655682) × R
    0.000191739999999996 × 0.280427553895908 × 6371000     		do = 342.563440581265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78685960-2.78705134) × cos(1.28650304) × R
    0.000191739999999996 × 0.280479175578249 × 6371000     		du = 342.626500365746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28655682)-sin(1.28650304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280427553895908-0.280479175578249)×R²
    abs(2.78705134-2.78685960)×5.16216823406301e-05×R²
    0.000191739999999996×5.16216823406301e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.16216823406301e-05×40589641000000     		ar = 117384.130137413m²