Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30918 / 38853
↖ ↑ ↗
← S 31.676758°
W 10.162354°		 ← 519.85 m → S 31.676758°
W 10.156860°		 →
↑
519.81 m
↓
↑
519.81 m
↓
S 31.681433°
W 10.162354°		 ← 519.82 m →
270 216 m²		 S 31.681433°
W 10.156860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471778869628906 y=0.592857360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471778869628906 × 216)
    floor (0.471778869628906 × 65536)
    floor (30918.5)     		tx = 30918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592857360839844 × 216)
    floor (0.592857360839844 × 65536)
    floor (38853.5)     		ty = 38853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30918 / 38853 ti = "16/30918/38853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30918/38853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30918 ÷ 216
    30918 ÷ 65536     		x = 0.471771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38853 ÷ 216
    38853 ÷ 65536     		y = 0.592849731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.05645751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17736653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592849731445312 × 2 - 1) × π
    -0.185699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.583392068376083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17736653} λ = -0.17736653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583392068376083))-π/2
    2×atan(0.558002370514442)-π/2
    2×0.508966298021136-π/2
    1.01793259604227-1.57079632675     		φ = -0.55286373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17736653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.162354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55286373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.676758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30918 KachelY 38853 -0.17736653 -0.55286373 -10.162354 -31.676758
    Oben rechts KachelX + 1 30919 KachelY 38853 -0.17727065 -0.55286373 -10.156860 -31.676758
    Unten links KachelX 30918 KachelY + 1 38854 -0.17736653 -0.55294532 -10.162354 -31.681433
    Unten rechts KachelX + 1 30919 KachelY + 1 38854 -0.17727065 -0.55294532 -10.156860 -31.681433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55286373--0.55294532) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dl = 519.809889999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55286373--0.55294532) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dr = 519.809889999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17736653--0.17727065) × cos(-0.55286373) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.851024193254418 × 6371000     		do = 519.849387965227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17736653--0.17727065) × cos(-0.55294532) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850981345352165 × 6371000     		du = 519.823214260721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55286373)-sin(-0.55294532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851024193254418-0.850981345352165)×R²
    abs(-0.17727065--0.17736653)×4.28479022531736e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28479022531736e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28479022531736e-05×40589641000000     		ar = 270216.050649419m²