Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30917 / 6335
↖ ↑ ↗
← N 73.431557°
E159.664307°		 ← 348.36 m → N 73.431557°
E159.675293°		 →
↑
348.37 m
↓
↑
348.37 m
↓
N 73.428424°
E159.664307°		 ← 348.43 m →
121 369 m²		 N 73.428424°
E159.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943527221679688 y=0.193344116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943527221679688 × 215)
    floor (0.943527221679688 × 32768)
    floor (30917.5)     		tx = 30917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193344116210938 × 215)
    floor (0.193344116210938 × 32768)
    floor (6335.5)     		ty = 6335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30917 / 6335 ti = "15/30917/6335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30917/6335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30917 ÷ 215
    30917 ÷ 32768     		x = 0.943511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6335 ÷ 215
    6335 ÷ 32768     		y = 0.193328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943511962890625 × 2 - 1) × π
    0.88702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78666785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193328857421875 × 2 - 1) × π
    0.61334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92687161712778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78666785} λ = 2.78666785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92687161712778))-π/2
    2×atan(6.86799089367366)-π/2
    2×1.42620938386635-π/2
    2.85241876773271-1.57079632675     		φ = 1.28162244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78666785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28162244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.431557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30917 KachelY 6335 2.78666785 1.28162244 159.664307 73.431557
    Oben rechts KachelX + 1 30918 KachelY 6335 2.78685960 1.28162244 159.675293 73.431557
    Unten links KachelX 30917 KachelY + 1 6336 2.78666785 1.28156776 159.664307 73.428424
    Unten rechts KachelX + 1 30918 KachelY + 1 6336 2.78685960 1.28156776 159.675293 73.428424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28162244-1.28156776) × R
    5.46800000000847e-05 × 6371000     		dl = 348.366280000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28162244-1.28156776) × R
    5.46800000000847e-05 × 6371000     		dr = 348.366280000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78666785-2.78685960) × cos(1.28162244) × R
    0.000191749999999935 × 0.285160509699702 × 6371000     		do = 348.363271199043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78666785-2.78685960) × cos(1.28156776) × R
    0.000191749999999935 × 0.285212918947603 × 6371000     		du = 348.427296393343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28162244)-sin(1.28156776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285160509699702-0.285212918947603)×R²
    abs(2.78685960-2.78666785)×5.24092479017857e-05×R²
    0.000191749999999935×5.24092479017857e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.24092479017857e-05×40589641000000     		ar = 121369.169015814m²